《高等几何》习题答案.doc

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1、高几习题集及解答第一章仿射几何的基本概念1、证明线段的中点是仿射不变性，角的平分线不是仿射不变性。证明：设T为仿射变换，根据平面仿射几何的基本定理，T可使等腰△ABC（AB=AC）与一般△A'B'C'相对应，设点D为线段BC的中点，则AD⊥BC，且β=γ，T（D）=D'（图1）。∵T保留简比不变，即（BCD）=（B'C'D'）=-1，∴D'是B'C'的中点。因此线段中点是仿射不变性。∵在等腰△ABC中，β=γ。设T（β）=β'，T（γ）=γ'，但一般△A'B'C'中，过A'的中线A'D'并不平分∠A'，即B'

2、与γ'一般不等。∴角平分线不是仿射不变性。在等腰△ABC中，设D是BC的中点，则ADᅩBC，由于T(△ABC)=△A'B'C'（一般三角形），D'仍为B'C'的中点。由于在一般三角形中，中线A'D'并不垂直底边B'C'。得下题2、两条直线垂直是不是仿射不变性？答:两直线垂直不是仿射不变性。3、证明三角形的中线和重心是仿射不变性。证明：设仿射变换T将△ABC变为△A'B'C'，D、E、F分别是BC、CA，AB边的中点。由于仿射变换保留简比不变，所以D'=T(D)，E'=T(E)，F'=T(F)分别是B'C',C

3、'A',A'B'的中点，因此A'D'，B'E'，C'F'是△A'B'C'的三条中线（图2）。设G是△ABC的重心，且G'=T(G)∵G∈AD，由结合性得G'∈A'D'；又∵（AGD）=（A'G'D'）即∴G'是△A'B'C'的重心。4、证明梯形在仿射对应下仍为梯形。证明：设在仿射对应下梯形ABCD（ABCD）与四边形A'B'C'D'相对应，由于仿射对应保持平行性不变，因此A'B'C'D'，所以A'B'C'D'为梯形。5、证明两个全等矩形经过仿射变换为两个等积平行四边形。证明：设T为仿射变换，A1B1C1D1与

4、A2B2C2D2为两个全等矩形，其面积分别以S1=S2。由于T保留平行性，所以：T（A1B1C1D1）=平行四边形A'1B'1C'1D'1,面积记为：S'1T（A2B2C2D2）=平行四边形A'2B'2C'2D'2,面积记为：S'2，且S'1=KS1，S'2=KS2，∴A'1B'1C'1D'1与A'2B'2C'2D'2是等积的平行四边形。6、经过A（-3，2）和B（6，1）两点的直线被直线X+3y-6=0截于P点，求简比（ABP）解：设P点的坐标为（x0，yo）（分割比），且P在直线x+3y-6=0上，解得λ

5、=1，即P是AB中点，且（ABP）=－1。7、证明直线Ax+By+C=0将两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2）的联线段分成的比是证明设分点为P（x0，y0），则分割比λ=，P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上，Ax1+By1+C+λ(Ax2+By2+C)=08、证明一直线上二线段之比是仿射不变量。证明：若直线a上两线段AB和CD经仿射变换T后与直线a'上的两段A'B'和C'D'对应图（3）得证。9、证明图形的对称中心是仿射不变性，图形的对称轴和对称平面是不是仿射不变性？证明：设仿射变换T将中心对称

6、图形F变为图形F'，点O是F的对称中心，A，B为图形F上关于点O对称的任意一对对称点。设T（O）=O'，T（A）=A'T（B）=B'。∵T（F）=F'，由结合性，点A'，B'在图形F'上；由简比不变性，（ABO）=(A'B'O')。所以F'是中心对称图形，从而图形的对称中心是仿射不变性。如果点A、B关于直线l（平面π）对称，则线段AB⊥1（AB⊥π）。但仿射变换不保留角的度量，所以当T（A）=A'，T（B）=B'，T（1）=1'（T（π）=π'）时，线段A'B'不一定垂直线1'（平面π'）。10、在仿射坐标系

7、下，直线方程是一次的。证明：设在笛氏坐标系下直线方程为：Ax+By+C=0（1）（x,y）为笛氏坐标，（x'，y'）为仿射坐标。笛氏到仿射的变换式为：设其逆变换为：将（3）式代入（1），得A（a1x'+a2y'+a0）+B(b1x'+b2y'+b0)+C=0,即：(Aa1+Bb1)x'+(Aa2+Bb2)y'+Aa0+Bb0+C=0，记为：是x',y'的一次式。其中=Aa1+Bb1,=Aa2+Bb2，=Aa0+Bb0+C0且不全为0，若不然，Aa1+Bb1=0，Aa2+Bb2=011、利用仿射变换式，试求在仿

8、射变换下，三角形的面积是怎样改变的？（从而明确1.2定理5所指常数的意义）。解：ΔA1A2A3和ΔA'1A'2A'3的面积分别以S,S'表示，=这结果与§1.2系2一致，三角形（从而多边形或曲线形）的面积经仿射变换后乘以一个常数k，此地进一步明确了这常数就是仿射变换式的行列式的绝对值，仿射变换式不同，这常数也不同。12、在等腰梯形中，两底中心，两对角线交点，两腰（所在直线）交点，这四点显然共线（在对