27.高考数学换元引参与整体思想怎么考(2011年高考二轮复习专题)

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1、高考数学换元引参与整体思想怎么考【立意和思路】整体思想与整体思想中的换元引参是解决数学问题的普遍方法之一，其牵涉的知识面广，几乎涵盖了各个知识章节，应用广泛。换元思想内涵丰富，是培养学生观察能力、直觉能力和整体意识的方法之一，同时培养学生思维结构中从大处着眼的宏观调控能力，产生居高临下之功效，我们不仅在细微之处见“精神”，更要从宏观之中探“世界”。换元引参是整体思想的集中体现，在整体思想中扮演着不可或缺的角色。由于换元引参在第一轮复习中已渗透到各知识章节中，学生已初步体验到其实用性和思想方法，因此，在

2、这里安排8道例题分两课时完成，第一课时突出换元引参的解题思想过程，第二课时突出观察问题的整体思想方法，培养学生解决问题的宏观调控能力，使学生的学习能力在第一轮基础上进一步得到整合提高。这里需要说明的是，下面编排的例题主要是提供一种复习思路，仅供参考，特别是第二轮复习要讲究问题的综合性和一题多解，应考虑到不同层次的学生水平安排例题进行教学。由于本人水平有限、时间仓促，难免使考虑的问题出现漏洞或不成熟的情况，敬请批评指正。【高考回顾】　　第9页共9页换元引参和整体思想是解决数学问题中转化能力的一种体现，它

3、渗透到数学中的方方面面，在历年高考试题中基本体现出这种能力的考查。如98年高考题的最后一题（即本案例8），考查了数列中整体代换能力或数学归纳法的思想等，但整体能力的观察显然要高于数学归纳法的思想，因为数学归纳法易想但过程显得冗长，远不如整体代入运算来得简捷；99年的填空题（即本案中的例5（1））考查了学生的整体观察能力，从而达到优化运算过程，检测了学生良好的思维品质；又如2000年的解答题（即本案的例4），其中考查学生如何引参、消参，显然这里引参的成功与否关系到运算的质量，是对学生运筹帷幄策略的一次大

4、检验。这些数据充分说明这部分内容在中学教学中应引起我们足够的重视，特别是这部分学生能力的培养更是我们潜心研究的科目。这里需要指出的是，2004年我们浙江卷第17题也体现了整体思想，只是能力要求不高，考查的力度不大，但这并不能说明这部分内容不重要，只能说明命题人的构思不同罢了。【基础知识梳理】换元引参是指引入一个或几个新变量代替原式中的某些量，使得原式中仅含有这些新变量，然后对新变量求出结果，再代回求出原变量的结果。换元法常与所考虑问题的整体因素有关，其基本思想是通过变量代换，化繁为简，化难为易，以实现

5、从未知向已知转化，从而达到解题的目的。转化的方式主要是分式向整式、无理向有理、超越向初等以及函数、三角、几何等的互化。引入参变量，作为揭示运动变化中变量之间内在联系的媒介。使我们有可能对运动的过程作出定量的刻划，消化问题的难点，促使问题转化，达到简捷解决问题的目的。解数学问题时，人们常习惯于把它分成若干个简单的问题，然后再各个击破，分而治之。有时，研究问题若能有意识地放大考察问题的视角，将需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构等，并注意已知条件及待求结论在这个“整体”中的地位和作

6、用，然后通过整体结构的调节和转化使问题获解，这种对数学问题的整个过程进行研究的思想方法即为整体思想。第9页共9页在解题时，要细察命题的外形，把握问题的特征展开联想，创设整体常常会使解题思路出现峰回路转、豁然开朗的情景。【例题精选】例1：求下列函数的最值1）2）3）【思路点拔】1）通过观察，注意到式子含有的关系，可令，则，于是问题转化为二次型：，函数是增函数，2）分析的本质是平方关系，故可令，则，若；若，则时，。3）此题中的根号与2）题有本质的区别，不宜用替换，注意到，故可令，当，；【点评】①在换元法中

7、，注意换元的原则是将复杂的问题转化为简单的问题；把不熟悉的化归为熟悉的，同时要注意新变量范围的确定。②问题1）的同类问题还有的关系；问题2）的一般形状为：，3）的一般形状为；③求最值问题还可以考虑用导数求解，但这里换元可简化计算过程。第9页共9页例2：解关于x的不等式：【思路点拔】易观察到与的倒数关系，令，得，即，不等式的解集为：，不等式的解集为：。【点评】培养学生敏锐的观察能力，是培养学生直觉思维的一种有效途径，此题的功效是要求学生在较短的时间内对问题的解决做出反应，同时还要注意分类讨论应在何时进行

8、比较恰当进行定位。例3：已知，确定的取值范围。【思路点拔】如何运用题设条件，将转化成只含一个变量，是解决此问题的关键，由联想到椭圆的参数方程：，，或将看作一个整体，利用数形结合、方程的思想解决都不失为一种好方法：方法一：令，，则方法二：令，则，代入得，因方程有实数根，故，【评点】上述提供的换元的两种思路中，前者转化为三角关系，利用三角函数的有界性易确定范围，其优点是运算量少；第二种方法有明显的几何背景，即求椭圆上的平行直线系的截距（y轴或x轴）的取值范围