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1、以直线为载体的动点、静点求最短宝鸡市岐山县罗局初级中学陈军利郑建宁邮编：722404▲标题：以直线为载体的动点、静点求最短▲内容提要：以直线为载体的动点、静点求最短问题在平时的教学中都是单个讲解，即遇到那个讲那个，缺少对知识的的系统性学习，因此学生也很难从整体上把握这一类问题的解法，鉴于以上原因，本人结合自己的教学实践总结并归纳了以直线为载体的动点、静点求最短问题的三种类型，期望从知识系统的角度阐述如何解决以直线为载体的动点、静点求最短问题，使学生对这类问题认识更清晰，理解更透彻，方法更具体，这也是本人的写作的初衷所在。▲关键词：Ⅰ一动一静。Ⅱ两静一动。Ⅲ两动一静。▲正
2、文：以直线为载体的动点、静点求最短在初中数学教学中，常常会遇到求直线外一点到直线上某一点的最短距离。也会遇到一条直线的同侧有两点，在该直线上找一点，使得这一点到直线同侧两点的距离和最短。本人从这两个数学模型出发，结合自己的教学实践，以部分典型习题为情境探究以直线为载体的的动点、静点问题。模型基本一：一动一静。如图（1），已知直线l和直线l外一点P(静点），在直线l上找一点A（动点),使得PA的距离最小。如图（1）要确定的A的位置，可根据直线外一点到直线上所有点的连线中垂线段最短来做。作PA┴l于A,则垂足A就是要找的点A且PA最短。知识应用：例1、如图（2），在ΔABC
3、中,有一点M在AC边上移动，若AC=AB=10,BC=12,求AM+BM+CM的最小值，实际上可转化成求AC+BM的最小值，即求10+BM的最小值，由此可知只要求出BM的最小值，问题便可解决，根据一动一静找最短可得，作BM┴AC于M，则可确定M点，结合等腰三角形的性质并利用等积法可求出BM的长度，继而求出AM+BM+CM的最小值。例2、如图（6），点A的坐标为(-1,0),点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，求点B的坐标。例2也是一动一静在数学问题中应用的一个特例，解及分析略。基本模型二：两静一动。如图（3），已知A、B两点（两个静点）在直线l的同侧，在直线l上找
4、一点P（动点)，使得PA+PB之和最短。找P的方法是:作A关于直线l的对称点A'。连接A'B交直线l于P。连接PA，则PA+PB之和最短。证明PA+PB之和最短略去。知识应用：例3、如图（4)，在正方形ABCD中，AB=4，E是AB的中点，点P是对角线AC上的一个动点，求PE+PB的最小值。分析及解答，这个问题可看作两静一动找最短。点P（动点）在直线AC上，B、E(两静点)在直线AC的同侧，要使PE+PB之和最短，关键是在对角线AC上确定P点，根据找点P的方法，到底是作点B关于对角线AC的对称点好还是作点E关于对角线AC的对称点好呢？要视具体情况而定，这道题选点B关于对
5、角线AC的对称点好，理由是根据正方形自身的性质得B、D关于对角线AC对称，再连接DE交AC于P，由点关于直线的性质得PB=PD，∴PB+PE=PD+PE=DE,到此将PE+PB之和最短问题转化成求DE的长度，有勾股定理得DE===，则PE+PB的最小值为。例4、如图（5），抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-1,0），B（3,0）两点。（1）求抛物线表达式。（2）设（1）中的抛物线与y轴交于点C，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得ΔQAC的周长最小，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由。解及分析：（1）要得到抛物线解析式，可利用待定系数法来完成。这个抛物线
6、有两个待定系数b和c,只需将A（-1,0），B（3,0）两点分别代入y=x2+bx+c中，得到关于b、c的二元一次方程组，然后得到b=-2，c=-3，∴y=x2-2x-3。（2）有（1)可得，抛物线为y=x2-2x-3,由此可得抛物线与y轴的交点c的坐标为（0，-3),对称轴为直线x=1，A,C为两静点，Q是直线x=1上的一动点，要，ΔQAC的周长最小，线段AC的长度为定值，只要QA+QC之和最小，就能保证ΔQAC的周长最小，那么要QA+QC之和最小，关键是确定Q点应该在直线x=1的什么位置，由图形可得A,C两静点在直线x=1的同侧，动点Q点在直线x=1上，因此可将问题
7、转化成两静一动找最短，利用基本模型二的方法，易得A和B关于直线x=1对称，在连接BC，设BC和直线x=1交与点Q，到此确定了Q点的位置，下面的环节就是确定点Q的坐标，可利用两种方法完成。Ⅰ代数法:易得b=-3，设直线BC解析式为y=kx-3（k≠0），将B(3,0)代入y=kx-3中得k=1，∴直线BC为y=x-3，∵Q（1，yQ)也在直线y=x-3上，∴yQ=1-3=-2，∴点Q的坐标为（1，-2）。Ⅱ几何法：设对称轴与x轴交与D点，易得ΔBDQ与ΔBOC相似，则，∴DQ=2，D点的坐标为（1，-2)。通过此题的讲解，主要探究了两静一动
