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《解析几何教程+(廖华奎王宝富)+课后习题.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第一章向量代数习题1.11.试证向量加法的结合律，即对任意向量a,b,c成立(ab)ca(bc).uuuruuuruuur证明：作向量ABa,BCb,CDc（如下图），DcCbcabbaABuuuruuuruuuruuuruuuruuur则(ab)c(ABBC)CDACCDAD,uuuruuuruuuruuuruuuruuura(bc)AB(BCCD)ABBDAD,故(ab)ca(bc).2.设a,b,c两两不共线
2、，试证顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是abc0.证明：必要性，设a,b,c的终点与始点相连而成一个三角形ABC，CcbaABuuuruuuruuuruuuruuuruuur则abcABBCCAACCAAA0.uuuruuuruuur充分性，作向量ABa,BCb,CDc，由于uuuruuuruuuruuuruuuruuur0abcABBCCDACCDAD,所以点A与D重合，即三向量a,b,c的终点与始点相连构成一个三角形。1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯
3、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3.试证三角形的三中线可以构成一个三角形。证明：设三角形ABC三边AB,BC,CA的中点分别是D,E,F（如下图），并且记CFcEbaADBuuuruuuruuuraAB,bBC,cCA，则根据书中例1.1.1，三条中线表示的向量分别是uuur1uuur1uuur1CD(cb),AE(ac),BF(ba),222uuuruuuruuur111所以，CDAEBF(cb)(ac)(ba)0,故由上题结论得三角形222的三中线CD,AE,BF可以构成一个三角形。4.用向量法证明梯形两腰中
4、点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。uuuruuur证明：如下图，梯形ABCD两腰BC,AD中点分别为E,F，记向量ABa,FAb，DCFEbaABuuuruuuruuuruuuruuur则DFb,而向量DC与AB共线且同向，所以存在实数0,使得DCAB.现在uuuruuurFBba,FCba,由于E是BC的中点，所以uuur1uuuruuur111uuurFE(FBFC)(baab)(1)a(1)AB.且2222uuur1uuur1uuuruuur1uuuruuurFE(1)AB(ABAB)(ABD
5、C).222故梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。5.试证命题1.1.2。2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯证明：必要性，设a,b,c共面，如果其中有两个是共线的，比如是a,b，则a,b线性相关，从而a,b,c线性相关。现在设a,b,c两两不共线，则向量c可以在两个向量a,b上的进行分解，即作以c为对角线，邻边平行于a,b的平行四边形，则存在实数,使得cab，因而a,b,c线性相关。充分性，设a,b,c线性相关，则存在不全为零的
6、数k1,k2,k3，使得k1ak2bk3c0。不妨设k30，则向量c可以表示为向量a,b的线性组合，因此由向量加法的平行四边形法则知道向量c平行于由向量a,b决定的平面，故a,b,c共面。6.设A,B,C是不共线的三点，它们决定一平面，则点P在上的充要条件是存在唯一的数组(,,)使得uuuruuuruuuruuurOPOAOBOC,(*)1,其中，O是任意一点。P在ABC内的充要条件是(*)与0,0,0同时成立。证明：必要性，作如下示意图，连接AP并延长交直线BC于R。ACPROBuuuruuuruuur则由
7、三点B,R,C共线，存在唯一的数组k1,k2使得ORk1OBk2OC，并且uuuruuuruuurk1k21。由三点A,P,R共线，存在唯一的数组l1,l2使得OPl1OAl2OR，并且uuuruuuruuuruuuruuuruuurl1l21。于是OPl1OAl2ORl1OAl2k1OBl2k2OC，设l1,l2k1,l2k2,由k1,k2，l1,l2的唯一性知道(,,)的唯一性，则uuuruuuruuuruuurOPOAOBOC,且l1l2k1l2k21。uuuruuuruuuruuuruuuruuuru
8、uur充分性，由已知条件有OPOAOBOCOAOB(1)OC3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur(OAOC)(OBOC)OCCACBOC,得到CPCACB，uuuruuuruuur因而向量CP,CA,CB共面，即P在A,B,C决定的平面上。如果P在AB
