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《实变函数积分理论部分复习题(附答案版).pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2011级实变函数积分理论复习题一、判断题（判断正误，正确的请简要说明理由，错误的请举出反例）1、设fn(x)是[0,1]上的一列非负可测函数，则f(x)fn(x)是[0,1]上的Lebesguen1可积函数。（×）2、设fn(x)是[0,1]上的一列非负可测函数，则f(x)fn(x)是[0,1]上的Lebesguen1可测函数。（√）3、设fn(x)是[0,1]上的一列非负可测函数，则limfn(x)dxlimfn(x)dx。[0,1][0,1]nn（×）4、设fn(x)是[0,1]上的一
2、列非负可测函数，则存在fn(x)的一个子列fnk(x)，使得，limfnk(x)dxlimfnk(x)dx。[0,1][0,1]kk（×，比如fn(x)为单调递增时，由Levi定理，这样的子列一定不存在。）5、设f(x)是[0,1]上的一列非负可测函数，则存在f(x)的一个子列f(x)，nnnk使得，limfnk(x)dxlimfnk(x)dx。[0,1][0,1]kk（×，比如课本上法都引理取严格不等号的例子。）6、设fn(x)是[0,1]上的一列非负可测函数，则limfn(x)dxlimfn(x)dx。[0,1][0,1]nn（√）7、设fn(x)是[0,1]上的一列非负可测函数，
3、则limfn(x)dxlimfn(x)dx。[0,1][0,1]nn（×）8、设f(x)是[0,1]上的黎曼可积函数，则f(x)必为[0,1]上的可测函数。（√，Lebesgue积分与正常黎曼积分的关系）9、设f(x)是[0,)的上黎曼反常积分存在，则f(x)必为[0,)上的可测函数。（√，注意到黎曼反常积分的定义的前提条件，对任意自然数n>0，f(x)在[0,n]上黎曼可积，从而f(x)是[0,n]上的可测函数，进而f(x)是[0,)[0,n]上的可测函数）n110、设fn(x)是[0,1]上的一列单调递增非负可测函数，G([0,1],fn)表示fn(x)在1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯[0,1]上的下方图形，f(x)=limfn(x)，则G([0,1],fn)单调递增，且n￥limG([0,1],fn)=UG([0,1],fn)=G([0,1],f)，mG([0,1],f)=limmG([0,1],fn)。nnn=1（√，用集合关系的定义，单调递增可测集列的极限性可以证明。）二、叙述题（请完整地叙述以下定理或命题）（自己在书上找答案，务必要跟书上一模一样）1、单调收敛定理（即Levi定理）2、Fatou引理（法都引理）3、非负可测函数的Fubini定理和Lebesgue可积函数的Fubini定理
5、4、Lebesgue控制收敛定理（两个）5、Lebesgue基本定理（即非负可测函数项级数的逐项积分定理）6、积分的绝对连续性三、计算题（请完整写出计算过程和结果）sinx,xD01、设D0为[0,]中的零测集，f(x)3，求f(x)dx。x[0,]e,xD0解：由题设f(x)sinx，a.e.于[0,]，而sinx在[0,]上连续，于是由积分的惟一性和L积分与R积分的关系得f(x)dxsinxdx(R)sinxdx(cosx)2。0[0,][0,]02xxe,x[0,)Q2、设Q为[0,+)中有理数全体，f(x)，求f(x)dx。3xsinx[0.)e,xQ22xx解：因为Q为可数集
6、，所以mQ0，从而f(x)xe，a.e.于[0,)，而xe在x21x21[0,)上非负连续，且(R)f(x)dx(R)xedxe0，0022所以由积分的惟一性和L积分与R积分的关系得22121xxxf(x)dxxedx(R)xedxe0。[0.)[0.)0222⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2xxe,x[0,)P3、设P为[0,1]上的Cantor三分集，f(x)，求f(x)dx。x.0[)sin(e),xP22xx解：因为mP0，所以f(x)xe，a.e.于[0,)，而xe在[0,)上非负连续，且2121xx(R)f(
7、x)dx(R)xedxe0，0022所以由积分的惟一性和L积分与R积分的关系得22121xxxf(x)dxxedx(R)xedxe0。[0.)[0.)022nxn2x4、计算lim(1)edx。n0nxn2x解：令fn(x)(1)e[0,n](x)，易见fn(x)在[0,)非负可测，且fn(x)单调上nx升limfn(x)e，故由单调收敛定理nxn2xxlim(1)edxedx1。n0n05、积分计算（1）设¤为全体有理数所成的集合，在E[0,
