实变函数积分理论部分复习试题(附答案解析版)

《实变函数积分理论部分复习试题(附答案解析版)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、专业技术资料整理分享2011级实变函数积分理论复习题一、判断题（判断正误，正确的请简要说明理由，错误的请举出反例）1、设是上的一列非负可测函数，则是上的Lebesgue可积函数。（×）2、设是上的一列非负可测函数，则是上的Lebesgue可测函数。（√）3、设是上的一列非负可测函数，则。（×）4、设是上的一列非负可测函数，则存在的一个子列，使得，。（×，比如为单调递增时，由Levi定理，这样的子列一定不存在。）5、设是上的一列非负可测函数，则存在的一个子列，使得，。（×，比如课本上法都引理取严格不等号的例子。）6、设是上的一列

2、非负可测函数，则。（√）7、设是上的一列非负可测函数，则。（×）8、设是上的黎曼可积函数，则必为上的可测函数。（√，Lebesgue积分与正常黎曼积分的关系）WORD文档下载可编辑专业技术资料整理分享9、设是的上黎曼反常积分存在，则必为上的可测函数。（√，注意到黎曼反常积分的定义的前提条件，对任意自然数，在上黎曼可积，从而是上的可测函数，进而是上的可测函数）10、设是上的一列单调递增非负可测函数，表示在上的下方图形，，则单调递增，且，。（√，用集合关系的定义，单调递增可测集列的极限性可以证明。）二、叙述题（请完整地叙述以下定理

3、或命题）（自己在书上找答案，务必要跟书上一模一样）1、单调收敛定理（即Levi定理）2、Fatou引理（法都引理）3、非负可测函数的Fubini定理和Lebesgue可积函数的Fubini定理4、Lebesgue控制收敛定理（两个）5、Lebesgue基本定理（即非负可测函数项级数的逐项积分定理）6、积分的绝对连续性三、计算题（请完整写出计算过程和结果）1、设为中的零测集，，求。解：由题设，于，而在上连续，于是由积分的惟一性和L积分与R积分的关系得。2、设为中有理数全体，，求。WORD文档下载可编辑专业技术资料整理分享解：因为

4、为可数集，所以，从而，于，而在上非负连续，且，所以由积分的惟一性和L积分与R积分的关系得。3、设为上的Cantor三分集，，求。解：因为，所以，于，而在上非负连续，且，所以由积分的惟一性和L积分与R积分的关系得。4、计算。解：令，易见在非负可测，且单调上升，故由单调收敛定理。5、积分计算（1）设为全体有理数所成的集合，在上函数定义如下：求。（2）设为全体有理数所成的集合，在上函数定义如下：求。解：（1）记，令，则故WORD文档下载可编辑专业技术资料整理分享从而几乎处处于。显然，是上的连续函数，从而在上有界且Riemann可积，

5、故由Riemann积分与Lebesgue积分的关系定理，在上Lebesgue可积且由于几乎处处于，故由积分的基本性质（2）解：因从而几乎处处于。显然，是上的连续函数，从而在上有界且Riemann可积，故由Riemann积分与Lebesgue积分的关系定理，在上Lebesgue可积且由于几乎处处于，故由积分的基本性质三、证明题（请完整地写出以下命题的证明）1、用Fubini定理证明：若为上的非负可测函数，则。证明：记，令，由题设易知也是上的非负可测函数，于是，由非负可测函数的Fubini定理。2、设是中的可测集，若（1），其中为

6、可测集，；WORD文档下载可编辑专业技术资料整理分享（2），都是上的可测函数，且于；（3）存在上的Lebesgue可积函数，使得，。证明：在上也Lebesgue可积，且。证明：记，由题设知于（事实上，存在，当时，总有，从而，于是。）又，在上Lebesgue可积所以由Lebesgue控制收敛定理，并注意到可得。3、设是Lebesgue可测集，，都是上的Lebesgue可积函数，若，且，证明：（1）在上非负可测；（2）用Fatou引理证明：。证明：（1）由可测函数的运算性质得是上可测函数，又，从而，所以在上非负可测。（2）由题设，

7、再由Fatou引理得，WORD文档下载可编辑专业技术资料整理分享即，从而故。4、设是定义在上的实值函数，满足，在上黎曼可积（即存在），若在上的广义黎曼积分绝对收敛（即绝对收敛），证明：在上Lebesgue可积，且。。证明：由题设知是上的可测函数，从而是上的可测函数，于是，由非负可测函数L积分的完全可加性以及L积分与黎曼正常积分的关系，并注意到可得（注：以上证明也可利用Levi定理得到）又在上的广义黎曼积分绝对收敛，即从而，即在上Lebesgue可积。由于且单调递增，记，易知且，于是，由L—控制收敛定理得在上Lebesgue可积

8、，且。5、设（）都是上的Lebesgue可积函数，且WORD文档下载可编辑专业技术资料整理分享，证明：（1）于；（2）于。证明：（1）记，对任意，由得，即于。（2）因为在上连续，且，由（1）于，所以用反证法，并注意到Reisz定理和Lebesgue定理可证。6、设（），都是上