理数导数压轴题：极值点偏移问题的不等式解法.pdf

《理数导数压轴题：极值点偏移问题的不等式解法.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯极值点偏移问题的不等式解法我们熟知平均值不等式：a,bR222ababab1122ab即“调和平均数”小于等于“几何平均数”小于等于“算术平均值”小于等于“平方平均值”等号成立的条件是ab.我们还可以引入另一个平均值：对数平均值：ablnalnb那么上述平均值不等式可变为：对数平均值不等式ababab,ab，ab＜＜lnalnb2以下简单给出证明：不妨设ab，设abx，则原不等式变为：2(x1)x1x1,lnxx1x以下

2、只要证明上述函数不等式即可.以下我们来看看对数不等式的作用.x题目1：（2015长春四模题）已知函数f(x)eax有两个零点x1x2，则下列说法错误的是A.aeB.x1x22C.x1x21D.有极小值点x0，且x1x22x0【答案】C【解析】函数f(x)导函数：xf'(x)ea有极值点xlna，而极值f(lna)aalna0，ae，A正确.x1x2f(x)有两个零点：eax10，eax20，即：x1lnalnx1①x2lnalnx2②1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①-②得：x1x2lnx1lnx2根据对数平均值不等式：x1x2x1x21x1x22lnx1lnx2x1x22，而1x1x2，x1x21B正确，C错误而①+②得：x1x22lnalnx1x22lna，即D成立.2题目2：（2011辽宁理）已知函数fxlnxax(2a)x.若函数yfx的图像与x轴交于A,B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f'x00【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：x1x2设A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))

4、，x1x2，则x0，22lnx1ax1(2a)x10①2lnx2ax2(2a)x20②①-②得：lnx1lnx2a(x1x2)(x1x2)(2a)(x1x2)0，化简得：1x1x20③a(x1x2)(2a)lnx1lnx2而根据对数平均值不等式：x1x2x1x2lnx1lnx22③等式代换到上述不等式1x1x21x0④a(x1x2)(2a)22ax0(2a)根据：2ax0(2a)x00（由③得出）∴④式变为：22ax0(2a)x010(2x01)(ax01)01∵(2x01)0，∴x0，∴x0在函数单减区间中，即：

5、af'(x0)02⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯x题目3：(2010天津理)已知函数fxxexR.如果x1x2，且fx1fx2.证明：x1x22.【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：x1x2设f(x1)f(x2)c，则x1c，x2c，(x1x2)两边取对数eelnx1x1lnc①lnx2x2lnc②①-②得：x1x21lnx1lnx2根据对数平均值不等式x1x2x1x212lnx1lnx2x1x

6、22x题目4：（2014江苏南通市二模）设函数fxeaxaaR，其图象与x轴交于Ax1,0Bx2,0两点，且x1x2.证明：fx1x20（fx为函数fx的导函数）.xx【解析】根据题意：e1axa0，e2axa0移项取对数得：12x1ln(x11)lna①x2ln(x21)lna②①-②得：x1x2ln(x11)ln(x21)，即：(x11)(x21)1ln(x11)ln(x21)根据对数平均值不等式：3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(x1)(x1)

7、12(x11)(x21)1ln(x11)ln(x21)(x11)(x21)1ln(x11)(x21)0，①+②得：x1x22lnaln(x11)(x21)2lna根据均值不等式：x1x2xxlna122∵函数f(x)在(,lna)单调递减∴f'(x1x2)0题目5：已知函数f(x)xlnx与直线ym交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点.1求证：0x1x22e【解析】由x1lnx1m，x2lnx2m，可得：mmx1①，x2②lnx1lnx2①-②得：lnx2lnx1x1x2mx1x2m()③lnx1lnx2ln

8、x1lnx2lnx1lnx2①+②得：m(lnx2lnx1)x1x2④lnx1lnx2根据对数平均值不等式x1x2m(x1x2)2lnx1lnx2利用③④式可得：m(lnx1lnx2)m2lnx1lnx2lnx1lnx2由题于ym与yxlnx交于不同两点，易得出则m02∴上式简化为:ln(x1x2)2lne4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新