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1、.函数的奇偶性与周期性一、函数奇偶性定义奇偶性定 义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称二、需要注意的问题1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)、f(－x0)＝f(x0)．3．分段函数
2、奇偶性判定时，利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性是错误的．三、重要结论 1．函数奇偶性的几个重要结论：(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(
3、x
4、)．专业资料.(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．2．有关对称性的结论：(1)若函数y＝f(x＋a)为偶函数，则函数y＝f(x)关于
5、x＝a对称．若函数y＝f(x＋a)为奇函数，则函数y＝f(x)关于点(a,0)对称．(2)若f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)关于x＝a对称．若f(x)＋f(2a－x)＝2b，则函数f(x)关于点(a，b)对称．奇偶性例题1．函数f(x)＝lg(x＋1)＋lg(x－1)的奇偶性是( )A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数解析：由知x>1，定义域不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数．答案：C2．设函数f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f(－)＝( )A．－B.C．2D．－2专业资料.解析：因为函数f(x)是偶函
6、数，所以f(－)＝f()＝log2＝，故选B.答案：B3．若函数f(x)＝x2－
7、x＋a
8、为偶函数，则实数a＝________.解析：∵f(－x)＝f(x)对于x∈R恒成立，∴
9、－x＋a
10、＝
11、x＋a
12、对于x∈R恒成立，两边平方整理得ax＝0对于x∈R恒成立，故a＝0.答案：0四、函数的周期性1．周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期
13、．五、周期性重要结论定义式f(x＋T)＝f(x)对定义域的x是恒成立的．若f(x＋a)＝f(x＋b)，则函数f(x)的周期为T＝
14、a－b
15、.专业资料.若在定义域满足f(x＋a)＝－f(x)，f(x＋a)＝，f(x＋a)＝－(a>0)．则f(x)为周期函数，且T＝2a为它的一个周期．对称性与周期的关系：(1)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，2
16、a－b
17、是它的一个周期．(2)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称，则函数f(x)必为周期函数，2
18、a－b
19、是它的一个周期．(3)若函数f(x)的图象关于点(a,0
20、)和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，4
21、a－b
22、是它的一个周期．周期性例题4．函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝，若f(1)＝－5，则f(f(5))＝________.解：f(x＋2)＝，∴f(x＋4)＝＝f(x)，∴f(5)＝f(1)＝－5，∴f(f(5))＝f(－5)＝f(3)＝＝－.答案：－考点一 函数奇偶性的判断判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝＋；(2)f(x)＝＋专业资料.；(3)f(x)＝3x－3－x；(4)f(x)＝；(5)f(x)＝解：(1)由得x＝±1，∴f(x)的定义域为{－1,1}．又f(1)＋f(－1)＝0，f(
23、1)－f(－1)＝0，即f(x)＝±f(－x)．∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(2)∵函数f(x)＝＋的定义域为，不关于坐标原点对称，∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(3)∵f(x)的定义域为R，∴f(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(4)∵由得－2≤x≤2且x≠0.专业资料.∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，∴f(x)＝＝＝，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x>0时，f(x)＝x2＋x，则当x<0时
