等差数列综合应用.doc

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1、第六课时等差数列综合应用【知识与技能】进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题，会利用等差数列通项公式和前n项和公式研究Sn的最值，初步体验函数思想在解决数列问题中的应用；掌握裂项相消法求数列的和．【重点难点】重点：等差数列前n项和公式的掌握与应用，裂项相消法求数列的和．难点：灵活运用求和公式解决问题．【教学过程】一、要点梳理1．等差数列通项公式：，首项:，公差:，末项:变形公式：；；2．等差数列的前n项和公式：（其中是常数，当时，是二次项系数为

2、，图象过原点的二次函数．）3．等差数列的性质（1）等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列；（3）当时,则有，特别地，当时，则有；（4）等差数列{an}中，其前项和为Sn，则{an}中连续的项和构成的数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…构成等差数列；（5）设数列是等差数列，为公差，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前项的和.若当项数为偶数时，，若当项数为奇数时，（其中是项数为的等差数列的中间项）；（

3、6）、的前和分别为、，且，则；（7）若，则；（8）若.第5页共5页4．求的最值法一：因等差数列前项和是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和。即当由可得达到最大值时的值．（2）“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。即当由可得达到最小值时的值．或求中正负分界项。法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故取离二次函数对称轴最近的整数时，取最大值（或最小值）

4、。若则其对称轴为。5．等差数列的判定方法（1）定义法：若或(常数)是等差数列．（2）等差中项：数列是等差数．（3）数列是等差数列（其中是常数）。（4）数列是等差数列,（其中A、B是常数）。二、合作探究类型1等差数列前项和的性质【例1】(1)在等差数列{an}中，若S4＝1，S8＝4，则a17＋a18＋a19＋a20＝________．(2)有一个共有100项的等差数列，其奇数项与偶数项之和分别为100和200，则公差d＝________．【练习1】等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求

5、它的前3m项的和．【练习2】若表示等差数列的前项和，，则．【练习3】在等差数列中，则．【练习4】在等差数列中，则．【练习5】已知两个等差数列和的前项和分别为，且第5页共5页，则使得为整数的正整数的个数为．【练习6】设是等差数列的前项和，若，则．类型2等差数列前项和的最值问题【例2】数列{an}是等差数列，a1＝50，d＝－0.6.(1)从第几项开始有an<0；(2)求此数列的前n项和的最大值．【练习】等差数列{an}中，a1<0，S9＝S12，该数列前多少项和最小？类型3裂项相消法求数列的和【例3】等差

6、数列{an}中，a1＝3，公差d＝2，Sn为前n项和，求＋＋…＋.小结：1．若数列{an}是等差数列，公差为d(d≠0)，则和式Tn＝＋＋＋…＋可用裂项法求和，具体过程如下：∵＝(－)，∴Tn＝[(－)＋(－)＋…＋(－)]＝(－)＝；2．常用到的裂项公式有如下形式：(1)＝(－)；(2)＝(－)．【练习】本例中若把条件改为“a1＝1，d＝1”，其他都不变，试求解之．类型4等差数列的综合应用第5页共5页【例4】在数列{an}中，a1＝2，an＝2an－1＋2n＋1(n≥2，n∈N*)．(1)若bn＝，求

7、证：{bn}是等差数列；(2)在(1)的条件下，设Cn＝，求{Cn}的前n项和Tn.三、课时小结与作业1．一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为(　　)A．8B．7　　　　C．6　　　　D．52．(2013·西安高二检测)已知等差数列{an}中，Sn是它的前n项和，若S16>0，S17<0，则当Sn最大时n的值为(　　)A．8B．9C．10D．163．(2013·郑州高二检测)已知等差数列{an}中，

8、a5

9、＝

10、a9

11、，公差d>0，则使得前n项和Sn取得最小值时的正整数n的值是(　　)

12、A．4和5B．5和6C．6和7D．7和84．已知数列{an}是通项an和公差都不为零的等差数列，设Sn＝＋＋…＋，则Sn等于(　　)A.B.C.D.5．已知一个等差数列{an}的前12项的和为354，前12项中偶数项的和S偶与前12项中奇数项的和S奇之比为，求此数列的公差d.6．已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？第5页共5页7．设数列{an