谈数列中的数学思想.pdf

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1、新．i罘哥{·上旬2012年1月8日淡数列的数恿趣文，李少青数学思想是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓，是将：各章节中都有所体现，数列中能引起讨论的有两处：(1)利用公式知识转化为能力的桥梁，有着普遍的应用意义，是历年高考考查：时要分n=l和n≥2；(2)等比数列的前n项和s要分q=l，q≠1的重点．下面列举数学思想在数列中的应用，旨在开启思维，拓宽：两种情况．思路，提高能力．-三、整体思想一、数形结合思想解题时，把一些结构相同的式子整体看待，以简化推理和运例1．已知Sn是等差数列1}的前n项和，若=&(p≠g)，则算，即所谓“整体思想”用这种思想解决数列运算往往有奇

2、效．=．如例1中还可以运用整体思想来解得到下面解法．——解："．'Slo~-Sto=．90(a1,+a,oo)分析：．№一+旦手n(。广手)m由题设知d≠0一90二·．．S是n的二次函数(缺常数项)，其图象是由过原点的抛物．．．口l。+nloo=一2，又·．-oI。+口。0ol+ano=-2∥．s1。罢毕一110．线上的点构成．如图所示：例3．设正项等比数列{anl的首项at=，前n项和为S，且n：n：毕2扩(2。o+1)．S

3、sIO，求{的通项；分析：关键求出公比q．注意等比数列的性质的灵活运用．解：(I)由2扩(2lo+1)SS。o=0，得2(．S3『S∞)：s3旷I

4、Sm、DP‘●g即2。(口21+a2+⋯+口30)=0l1+口l+⋯+0∞，可得21o．q。(口ll+0l2··+％)=nlI+0l，+⋯+O,2o又因抛物线对称轴方程为n=_卫，故0．因为％>o，所以2。=l，解得g=}，因而a,=atq=，n=l，评注：借助函数的图象，利用数形结合思想研究数列，直观、2，‘··明了，不失为一种好方法．评注：从整体的角度考虑问题，开阔了视野，能居高临下，从二、分类与整合思想本质上把握解题方向，优化了思维结构．本题运用了等比数列的性例2．设等比数列{的公比为q，前n项和sn>0(n=1，2，⋯)．质：ssS(I)求g的取值范围；四、归纳思

5、想(Ⅱ)设bn=an~一Ⅱ，l+．，iE{b}的前项和为，试比较Sn与例4．下面数表所暗示的一般规律是的大小．l=l分析：由于影响的主要因素是口，故本题应首先对其讨论．3+5=8解：(I)因为{是等比数列，Sn>O，可得al=St>O，q≠0．7+9+11-，当g：1时，}l>0，即孚>o，(：l，2，⋯)13+15+17+19=64—口1．q21+23+25+27+29=125上式等价于不等式组：1~-7o：，(1，2，⋯)①分析：很明显应该从观察特例人手，逐步探求其规律性，这就ll—g。u是“特殊到一般”的学科思想．“观察一归纳一猜想”是解决此类题或f一口0。，(n：

6、1，2，⋯)②最基本的策略．t1-q">O解析：设第／7,行左边第一个数为，则啦=1，a_2=3，『I+2m叠解①式得q>l；解②，由于n可为奇数、可为偶数，得一1

7、”，也考查了“观察和概括”能力和“特殊与一般”的数学思想．又‘．‘．s『I>0且一lO五、类比思想当一l2时7s0即>例5．已知等差数列有一性质：若{是等差数列，则通项为6J

8、：旦l=的数列{6}也是等差数列．类似上述命题，相应的等比当一0)，则通项为——，数列当g一或g=2时，7．s。即T~-．L{6也是等比数列．评注：分类讨论的思想是高考的重点考查内容，在中学数学分析：本题是将等差数列的算术平均数类比等比数列的几何2012年1月8日新课i·上旬平均数，应填6Il=弋／i，下面来

9、证明类比的正确性．解法2：由3-2-(n∈N$)得争=丁1一2‘孚}．设q是等比数列{od的公比，则b=弋／i=设6争，则6JI=一26，1．即：61一手(6-一})，V而=0。·q。，因此{6}是等比数列．评注：有些数学问题的性质十分类似，运用类比的方法可以所以{6r广}}是以b,-~-=2、1～a0)为首项，一手为公比的等发现规律，也有助于培养学生的知识迁移能力、探究能力和创新比数列．意识．六、化归思想则61=丁21)(一2)1=(}一n0)(一1)‘(})“例6．设为常数，且an=一2％一1+3“n∈N)．求通项嘞．1~