函数的微分在近似计算中的应用.ppt

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1、9/18/2021函数的微分1正方形金属薄片受热后面积的改变量.一、微分的定义引例2如果函数yf(x)的增量可表示为Dyf(x0Dx)f(x0)ADxo(Dx)其中A是与Dx无关的常数,则称函数yf(x)在点x0可微.而ADx叫做函数yf(x)在点x0相应于自变量增量Dx的微分记作dy即dyADx微分的定义(微分的实质)问题:是否所有函数的改变量都可表示为DyADxo(Dx)?线性函数ADx中的A是什么?3函数yf(x)在任意点x的微分称为函数的微分记作dy或df(x)即dyf(x)Dx例如dcosx(cosx)Dxs

2、inxDxdex(ex)DxexDx可微与可导的关系yf(x)在点x0可微DyADxo(Dx)dy=ADx函数f(x)在点x0可微函数f(x)在点x0可导函数y=f(x)在点x0的微分一定是dyf(x0)Dx4dx=(x)Dx=Dx自变量x的微分dx等于增量Dx,即函数yf(x)的微分更习惯地记作自变量的微分dyf(x)dxdxDx函数yf(x)的微分:dyf(x)Dx5二、微分的几何意义当

3、Dx

4、很小时

5、Dydy

6、比

7、Dx

8、小得多于是Dy是曲线上点的纵坐标的增量;dy是过点(x0f(x0))的切线上点的纵坐

9、标的增量.当x从x0变到x0+Dx时用切线小段MP近似代替曲线小段MN微分的几何意义:PN06三、基本微分公式与微分运算法则d(xm)mxm1dxd(sinx)cosxdxd(cosx)sinxdxd(tanx)sec2xdxd(cotx)csc2xdxd(secx)secxtanxdxd(cscx)cscxcotxdxd(ax)axlnadxd(ex)exdx(xm)mxm1(sinx)cosx(cosx)sinx(tanx)sec2x(cotx)csc2x(secx)secxtanx(cscx)cscx

10、cotx(ax)axlna(ex)ex微分公式:导数公式:1.基本初等函数的微分公式7微分公式:导数公式:82.函数和、差、积、商的微分法则公式d(uv)vduudv的证明因为d(uv)(uvuv)dxuvdxuvdx而udxduvdxdv所以d(uv)vduudv(uv)uv(Cu)Cu(uv)uvuv求导法则微分法则9设yf(u)及uj(x)可微则复合函数yf[j(x)]的微分为dyyxdxf(u)j(x)dx因为j(x)dxdu所以复合函数yf[j(x)]的

11、微分公式也可以写成dyf(u)du或dyyudu3.复合函数的微分法则由此可见无论u是自变量还是中间变量,微分形式dyf(u)du保持不变这一性质称为微分形式不变性.微分等式df(x)=f(x)dx中的自变量x可用可微中间变量uj(x)代换.10四、微分在近似计算中的应用函数的近似计算当函数yf(x)在点x0处的导数f(x)0且

12、Dx

13、很小时我们有Dydyf(x0)Dxf(x0Dx)f(x0)dyf(x0)Dxf(x0Dx)f(x0)f(x0)Dx若令xx0Dx即Dxxx0那么又有f(x)f(x0

14、)f(x0)(xx0)特别当x00时有f(x)f(0)f(0)x11例7有一批半径为1cm的球为了提高球面的光洁度要镀上一层铜厚度定为001cm估计一下每只球需用铜多少g(铜的密度是89g/cm3)?求函数增量的近似公式f(x0Dx)f(x0)f(x0)Dx镀层的体积为DVV(R0DR)V(R0)V(R0)DR4pR02DR431412001013(cm3)于是镀每只球需用的铜约为01389116(g)解已知球体体积为R01cmDR001cm12求函数值的近似公式f(x0D

15、x)f(x0)f(x0)Dx例8利用微分计算sin3030的近似值sinx0cosx0Dxsin3030sin(x0Dx)解13例9解常用的近似公式(假定

16、x

17、是较小的数值)(2)sinxx;(3)tanxx;(4)ex1x(5)ln(1x)x求函数在x0附近的值的近似公式f(x)f(0)f(0)x误差估计14小结1微分的定义微分公式与运算法则1.基本公式2.函数和、差、积、商的微分法则3.复合函数的微分法则微分形式不变性微分的几何意义与函数的一次近似15微分学所要解决的两类