【数学】3.2《立体几何中的向量方法(一)课件(新人教B选修2-1)》.ppt

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1、3.2立体几何中的向量方法（一）设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面α，β的法向量分别为u,v,则线线平行：l∥ma∥ba=kb;线面平行：l∥αa⊥ua·u=0;面面平行：α∥βu∥vu=kv.线线垂直：l⊥ma⊥ba·b=0;面面垂直：α⊥βu⊥vu·v=0.线面垂直：l⊥αa∥ua=ku;二、讲授新课1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以

2、及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（化为向量问题）（进行向量运算）（回到图形问题）例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？A1B1C1D1ABCD图1解：如图1，设化为向量问题依据向量的加法法则，进行向量运算所以回到图形问题这个晶体的对角线的长是棱长的倍。思考：（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？A1B1C1D1ABCD分析:思考：（

3、2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于,那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?A1B1C1D1ABCD分析:∴这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）A1B1C1D1ABCDH分析：面面距离回归图形点面距离向量的模解：∴所求的距离是A1B1C1D1ABCDH练习:如图2，空间四边形OABC各边以及AC，BO的长都是1，点D，E分别是边OA，BC的中点，连结DE，计算DE

4、的长。OABCDE图2例2：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为和,CD的长为,AB的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。解：如图，化为向量问题根据向量的加法法则进行向量运算ABCD图3于是，得因此设向量与的夹角为，就是库底与水坝所成的二面角。所以回到图形问题库底与水坝所成二面角的余弦值为例2：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为和,CD的长为,AB的长

5、为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。思考：（1）本题中如果夹角可以测出，而AB未知，其他条件不变，可以计算出AB的长吗？ABCD图3分析：∴可算出AB的长。（2）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？分析：如图，设以顶点为端点的对角线长为，三条棱长分别为各棱间夹角为。A1B1C1D1ABCD（3）如果已知一个四棱柱的各棱长都等于，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于，那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？A1B1C1D

6、1ABCD分析：二面角平面角向量的夹角回归图形解：如图，在平面AB1内过A1作A1E⊥AB于点E，EF在平面AC内作CF⊥AB于F。∴可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。练习：（1）如图4，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长。B图4ACD（2）三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，∠A1AB＝45°，∠A1AC＝60°，求二面角B-AA1-C的平面角的余弦值。ABCA1B1C1图5小结：用

7、空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。面面距离回归图形点面距离向量的模二面角平面角向量的夹角回归图形如图6，在棱长为的正方体中，分别是棱上的动点，且。（1）求证：；（2）当三棱锥的体积取最大值时，求二面角的正切值。O’C’B’A’OABCEF图6思考：