多元统计分析之因子分析.ppt

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1、多元统计分析方法————因子分析引言事物的表现是多方面的，事物之间的相互作用也是交叉重叠和具有层次性的，所以我们期望对事物进行准确描述的时候总会陷入一种两难：一方面，对事物的各种表现的观测越全面，对事物的认识就越准确和越完整；另一方面，对事物的观测越全面，得到的描述变量就越多，对事物的特性的表述却变得更加困难了！显然，在高维度空间中描述事物比在低维度的空间中描述事物更客观，却更困难。这一矛盾如何解决呢？统计学提供了最有效的方法和手段，即下面要学习因子分析。一、基本理论三、因子分析的基本步骤目录四、因子分析的spss实例应用二、因子分析模型

2、一、基本理论1.什么是因子分析？因子分析是将具有错综复杂关系的变量（或样本）综合为少数几个因子，以再现原始变量和因子之间的相互关系，探讨多个能够直接测量，并且具有一定相关性的实测指标是如何受少数几个内在的独立因子所支配，并且在条件许可时借此尝试对变量进行分类。2.因子分析的基本思想根据变量间相关性的大小把变量分组，使得同组内的变量之间的相关性（共性）较高，并用一个公共因子来代表这个组的变量，而不同组的变量相关性较低（个性）。因子分析将每个原始变量分解成两部分因素，一部分是由所有变量共同具有的少数几个公共因子组成的，另一部分是每个变量独自具

3、有的因素，即特殊因子。3.因子分析的目的因子分析的目的，通俗来讲就是简化变量维数。即要使因素结构简单化，希望以最少的共同因素（公共因子），能对总变异量作最大的解释，因而抽取得因子越少越好，但抽取的因子的累积解释的变异量越大越好。例：在企业形象或品牌形象的研究中，消费者可以通过一个由24个指标构成的评价体系，评价百货商场的24个方面的优劣。但消费者主要关心的是三个方面，即商店的环境、商店的服务和商品的价格。因子分析方法可以通过24个变量，找出反映商店环境、商店服务水平和商品价格的三个潜在的因子，对商店进行综合评价。而这三个公共因子可以表示为

4、：xi=ai1F1+ai2F2+ai3F3+εi（i=1，2，3....24）称F1、F2、F3是不可观测的潜在因子,也称为公共因子。24个变量共享这三个因子，但是每个变量又有自己的个性，不被包含的部分εi，称为特殊因子。二、因子分析模型因子分析是通过研究多个变量间相关系数矩阵（或协方差矩阵）的内部依赖关系，找出能综合所有变量的少数几个综合指标，这几个综合指标是不可测量的，但它更能反映事物的本质，通常称为因子。各个因子间是独立的、互不相关，所有变量都可以表示成公因子的线性组合。1.数学模型设有N个样本，P个指标，X=(x1,x2,....

5、.,.xp)T为随机向量，要寻找公共因子为F=(F1,F2,.......,FM)T，则模型：X1=a11F1+a12F2...+a1mFm+ε1X2=a21F1+a22F2...+a2mFm+ε2：：Xp=ap1F1+ap2F2...+apmFm+εp被称为因子模型。矩阵A=（aij）称为因子载荷矩阵，aij为因子载荷，其实质就是公因子Fi和变量Xj的相关系数。ε为特殊因子，代表公因子以外的影响因素所导致的（不能被公共因子所解释的）变量变异，实际分析时忽略不计。上述模型表示成矩阵形式为：X=AF+ε。对求得的公因子，需要观察它们在哪些变

6、量上有较大的载荷，再据此说明该公因子的实际含义。但对于分析得到的初始因子模型，其因子载荷矩阵往往比较复杂，难以对公因子Fi给出一个合理的解释，此时可以考虑进一步做因子旋转，以求旋转后能得到更加合理的解释。因子分析得到的模型有两个特点：其一，模型不受量纲的影响；其二，因子载荷不是唯一的，通过因子轴的旋转，可以得到新的因子载荷阵，使意义更加明显。2.各统计量的意义（1）特征值（Eigenwalue）：它可以被看成是公因子响力度的指标，代表引入该因子后可以解释平均多少个原始变量的信息。如果特征值小于１，说明该因子的解释力度还不如直接引入一个原变

7、量的平均解释力度大，因此一般可以用特征值大于１作为纳入标准。（2）累计贡献率：前k个主成分的累计贡献率指按照方差贡献率从大到小排列，前k个主成分累计提取了多少的原始信息，即前面k个主成分累计提取了x1，x2，…，xp多少的信息。一般来说，如果前k个主成分的累计贡献率达到85%，表明前k个主成分包含了全部测量指标所具有的主要信息，这样既减少了变量的个数，又便于对实际问题的分析和研究。（3）因子载荷aij：因子载荷aij为第i个变量在第j个因子上的载荷，实际上就是xi与Fj的相关系数，表示变量xi依赖因子Fj的程度，或者说反映了第i个变量xi

8、对于第j公因子Fj的相对重要性。其绝对值越大，则表示公因子Fj与xi的关系越密切。（4）变量共同度：变量共同度也称为公共方差，记为hj2，表示全部公因子对变量xi的总方差所作出的贡献，或者变量