高中函数专题讲义.doc

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1、函数讲义一、考试内容映射、函数、函数的单调性、函数的奇偶性；反函数、互为反函数的函数图象间的关系；指数概念的扩充、有理指数幂的运算性质、指数函数；对数、对数的运算性质、对数函数的应用举例。二、主要内容1.函数的单调性单一函数：（1）设那么上是增函数；上是减函数.(2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数.复合函数：如果函数和都是减函数,则在公共定义域内,和函数也是减函数;如果函数和在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数是增函数.2.奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反

2、过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．若函数是偶函数，则ƒ(x)=ƒ(-x),若函数是奇函数，则ƒ(x)=-ƒ(-x)注：若函数是偶函数，则；若函数是偶函数，则.对称性对于函数(),恒成立,则函数的对称轴是函数。若,则函数的图象关于点对称;若,则函数为周期为的周期函数.1.多项式函数的奇偶性多项式函数是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零.23.函数的图象的对称性(1)函数的图象关于直线对称.(2)

3、函数的图象关于直线对称.1.两个函数图象的对称性(1)函数与函数的图象关于直线(即轴)对称.(2)函数与函数的图象关于直线对称.(3)函数和的图象关于直线y=x对称.25.若将函数的图象右移、上移个单位，得到函数的图象；若将曲线的图象右移、上移个单位，得到曲线的图象.2.互为反函数的两个函数的关系.27.若函数存在反函数,则其反函数为,并不是,而函数是的反函数.3.几个常见的函数方程(1)正比例函数,.(2)指数函数,.(3)对数函数,.(4)幂函数,.(5)余弦函数,正弦函数，，.1.几个函数方程的周期(约定a>0)（1），

4、则的周期T=a；（2），或，或,或,则的周期T=2a；(3)，则的周期T=3a；(4)且，则的周期T=4a；(5),则的周期T=5a；(6)，则的周期T=6a.2.分数指数幂(1)（，且）.(2)（，且）.1.根式的性质（1）.（2）当为奇数时，；当为偶数时，.2.有理指数幂的运算性质(1).(2).(3).注：若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式.34.对数的换底公式(,且,,且,).推论(,且,,且,,).3.对数的四则运算法则若

5、a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则(1);(2);(3).注：设函数,记.若的定义域为,则，且;若的值域为,则，且.对于的情形,需要单独检验.1.对数换底不等式及其推论若,,,,则函数(1)当时,在和上为增函数.(2)(2)当时,在和上为减函数.推论:设，，，且，则（1）.（2）.三、主要问题1、定义域普通函数1．函数的定义域是R，则k的取值范围是（）。　　A、k≤0或k≥1　　B、k≥1　　C、0≤k≤1　　D、0

6、．=,则x的取值范围是__________抽象函数1、若函数y=f(x+1)的定义域是[-2，3]，则y=f(2x-1)的定义域是（）。A、　　B、[-1，4]　　C、[-5，5]　　D、[-3，7]2、已知函数的定义域为[-1，1]，求ƒ（2x-1）的定义域3、已知的定义域是[-2，4]，则g(x)=+ƒ(-x)的定义域是_________________4、已知ƒ（）的定义域为[0，3]，求的定义域与一元二次函数的联系1、=的定义域为R，求a得取值范围2、2、=的定义域为R，求m得取值范围总结：求函数的定义域，就要把含有所

7、求变量的每一个定义域都求出来；注意强化整体意识。2、值域配方法：求函数的值域。判别式法：1、求函数的值域。（1）当时，解得：（2）当y=1时，，而故函数的值域为求函数的值域。∵代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：小tips用判别式法求定义域时，应首先判断自变量的取值范围反函数法：直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数求函数值域。函数有界性法求函数的值域。解：由原函数式可得：，可化为：即∵∴即解得：换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法

8、是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。求函数的值域。解：令，则∵又，由二次函数的性质可知当时，当时，故函数的值域为数形结合法求函数的值域求函数的值域。2、单调性(1)判断函数的奇偶性与单调性若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性若为抽象函数