《机理分析模型》PPT课件.ppt

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1、第五章机理分析建模法机理分析方法立足于揭示事物内在规律机理分析是根据对现实对象特性的认识,分析其因果关系,找出反映内部机理的规律.的认识来源对现实对象*与问题相关的物理、化学、经济等方面的知识.*通过对数据和现象的分析对事物内在规律做出的猜想(模型假设).模型特点：有明确的物理或现实意义5.1微分方程的建立实际问题需寻求某个变量y随另一变量t的变化规律：y=y(t).直接求很困难建立关于未知变量、未知变量的导数以及自变量的方程建立变量能满足的微分方程？哪一类问题在工程实际问题中*“改变”、“变化”、“增加”、“减少”

2、等关键词提示我们注意什么量在变化.关键词“速率”、“增长”“衰变”，“边际的”，常涉及到导数.建立方法常用微分方程运用已知物理定律利用平衡与增长式运用微元法应用分析法机理分析法建立微分方程模型时应用已知物理定律，可事半功倍例5.1.1一个较热的物体置于室温为180c的房间内，该物体最初的温度是600c，3分钟以后降到500c.想知道它的温度降到300c需要多少时间？10分钟以后它的温度是多少？牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的物体放入处于常温m的介质中时，T的变化速率正比于T与周围介质的温度差.一.运用已知物理定律分

3、析：假设房间足够大，放入温度较低或较高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温分布均衡,保持为m，采用牛顿冷却定律是一个相当好的近似。建立模型：设物体在冷却过程中的温度为T(t)，t≥0，“T的变化速率正比于T与周围介质的温度差”翻译为数学语言建立微分方程其中参数k>0，m=18.求得一般解为ln(T－m)=－kt+c,代入条件，求得c=42，k=－,最后得T(t)=18+42,t≥0.结果：T(10)=18+42=25.870，该物体温度降至300c需要8.17分钟.二.利用平衡与增长式许多研究对象在数量上常常表现出

4、某种不变的特性，如封闭区域内的能量、货币量等.利用变量间的平衡与增长特性，可分析和建立有关变量间的相互关系.续例2.3人口增长模型对某地区时刻t的人口总数P(t)，除考虑个体的出生、死亡，再进一步考虑迁入与迁出的影响.在很短的时间段Δt内，关于P(t)变化的一个最简单的模型是：{Δt时间内的人口增长量}={Δt内出生人口数}－{Δt内死亡人口数}+{Δt内迁入人口数}－{Δt内迁出人口数}{Δt时间内的净改变量}={Δt时间内输入量}－{Δt时间内输出量}般化更一基本模型不同的输入、输出情况对应不同的差分或微分方程.

5、输入量：含系统外部输入及系统内部产生的量；输出量：含流出系统及在系统内部消亡的量.此类建模方法的关键是分析并正确描述基本模型的右端，使平衡式成立例5.1.2战斗模型两方军队交战，希望为这场战斗建立一个数学模型，应用这个模型达到如下目的：1.预测哪一方将获胜？2.估计获胜的一方最后剩下多少士兵？3.计算失败的一方开始时必须投入多少士兵才能赢得这场战斗？模型建立：设x(t)—t时刻X方存活的士兵数；y(t)—t时刻Y方存活的士兵数；假设：1）双方所有士兵不是战死就是活着参加战斗，x(t)与y(t)都是连续变量.2）Y方军

6、队的一个士兵在单位时间内杀死X方军队a名士兵；3）X方军队的一个士兵在单位时间内杀死Y方军队b名士兵；{Δt时间内X军队减少的士兵数}={Δt时间内Y军队消灭对方的士兵数}平衡式即有Δx=－ayΔt,同理Δy=－bxΔt,令Δt0,得到微分方程组：三.微元法基本思想：通过分析研究对象的有关变量在一个很短时间内的变化情况.例5.1.3一个高为2米的球体容器里盛了一半的水，水从它的底部小孔流出，小孔的横截面积为1平方厘米.试求放空容器所需要的时间.2米对孔口的流速做两条假设：1．t时刻的流速v依赖于此刻容器内水的高度h(

7、t).2．整个放水过程无能量损失。分析：放空容器？容器内水的体积为零容器内水的高度为零模型建立：由水力学知：水从孔口流出的流量Q为通过“孔口横截面的水的体积V对时间t的变化率”，即S—孔口横截面积（单位：平方厘米）h(t)—水面高度（单位：厘米）t—时间（单位：秒）当S=1平方厘米，有h(t)h+Δh在[t，t+Δt]内，水面高度h(t)降至h+Δh(Δh<0),容器中水的体积的改变量为ΔV=V(h)－V(h+Δh)=－πΔh[3(r12+r22)＋o(Δh)]≈－πr2Δh＋o(Δh)r1r2令Δt0,得dV=－π

8、r2dh，（2）比较(1)、(2)两式得微分方程如下：积分后整理得0≤h≤100四.分析法令h=0，求得完全排空需要约2小时58分.基本思想：根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系,找出反映内部机理的规律.例5.1.4（独家广告模型）广告是调整商品销售的强有力的手段,广告与销售量之间有什么内在联系？如何评价不同时期的广告效果？分析广告的效果,