2017年高考新课标Ⅲ卷理数试题（解析版）2

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1、故，所以③正确，④错误．设与所成夹角为，.当与夹角为时，即，．∵，∴．∴．∵．∴，此时与夹角为．∴②正确，①错误．三、解答题：（共70分．第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分．17．（12分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，．（1）求c；（2）设为边上一点，且，求的面积．【解析】（1）由得，即，又，∴，得.由余弦定理.又∵代入并整理得，故.（2）∵，由余弦定理.————学易教育教学研究院与学而思培优携手共同推出精品好资源————∵，即为直角三角形，则，得.由勾股定理.

2、又，则，.18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量（单位：瓶）的分布列；

3、（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，的数学期望达到最大值？【解析】⑴易知需求量可取.则分布列为：⑵①当时：，此时，当时取到.②当时：此时，当时取到.③当时，此时.④当时，易知一定小于③的情况.综上所述：当时，取到最大值为.————学易教育教学研究院与学而思培优携手共同推出精品好资源————19．（12分）如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形．，．（1）证明：平面平面；（2）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分．求二面角的余弦值．【解析】⑴取中点为，连接，；为等边三角形∴∴.∴

4、,即为等腰直角三角形，为直角又为底边中点∴令，则易得：，∴由勾股定理的逆定理可得即又∵由面面垂直的判定定理可得⑵由题意可知即,到平面的距离相等即为中点以为原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，设，建立空间直角坐标系，则，，，，易得：，，设平面的法向量为，平面的法向量为，————学易教育教学研究院与学而思培优携手共同推出精品好资源————则，解得，解得若二面角为，易知为锐角，则20．（12分）已知抛物线，过点（2，0）的直线交于，两点，圆是以线段为直径的圆．（1）证明：坐标原点在圆上；（2）设圆过点（4，），求直线与圆的方程．【解析】⑴显然，当直线斜率为时

5、，直线与抛物线交于一点，不符合题意．设，，，联立：得，恒大于，，．∴，即在圆上．⑵若圆过点，则化简得解得或①当时，圆心为，，，半径则圆②当时，圆心为，，，半径则圆21．（12分）已知函数．————学易教育教学研究院与学而思培优携手共同推出精品好资源————（1）若，求的值；（2）设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．【解析】⑴，则，且当时，，在上单调增，所以时，，不满足题意；当时，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增．①若，在上单调递增∴当时矛盾②若，在上单调递减∴当时矛盾③若，在上单调递减，在上单调递增∴满足题意综上所述．⑵当时即则有当且仅当

6、时等号成立∴，一方面：，即．另一方面：当时，∵，，∴的最小值为．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数），直线的参数方程为（m为参数），设与的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（1）写出C的普通方程：（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M为与C的交点，求M的极径．【解析】⑴将参数方程转化为一般方程……①……②①②消可得：————学易教育教学研究院与学而思培优携手共同推出精品好资源————即的轨迹方程为；⑵将参数方程转化为一般方程……③联立曲线和解得由解得即的极半径是．23．

7、[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集非空，求m的取值范围．【解析】⑴可等价为.由可得：①当时显然不满足题意；②当时，，解得；③当时，恒成立.综上，的解集为.⑵不等式等价为，令，则解集非空只需要.而.①当时，；②当时，；③当时，.综上，，故.————学易教育教学研究院与学而思培优携手共同推出精品好资源————