从静态和动态角度认识导函数-论文.pdf

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1、精品课例中学课程辅导·教师教育2014．07从静态和动态角度认识导函数彭芳化(湖南省衡阳市铁一中学湖南衡阳421000)【摘要】导函数本质上是一种函数，它的表达式取决于原函数本身。笔者在本文中从动态和静态两个不同角度分析导函数．以期能帮助教师教学和学生学习。【关键词】数学导函数静态动态认识【中图分类号】G633．6【文献标识码】A【文章编号】1992—7711(2014)07—091—01导函数本质上是一种函数，它的表达式取决于原函数本要求出斜率即可。身。数学中函数引入的目的在于：描述现实生活中运动和

2、变曲线)，=，()在某一点P(。，Yo)化的现象，中学阶段给出了两种定义方式。初中阶段，学生描的切线2，过点P的割线交曲线与点述函数概念：为自变量，y为因变量，，，随着的变化而变Q(x，y)，点Q无限接近于点P时的位}化，这样的变化关系称之为函数，高中阶段重新给出函数概置，此时割线与曲线只有一个交点，为念，是在学生习得了集合的相关知识之后，根据对应关系给曲线在点P的切线。7’出：设A，B为非空数集，如果按照某种确定的对应关系，，使对△y，()一，(0)，(0+△)一，(0)—————一于集合A中的任意

3、一个数，在集合中都有唯一确定的数，()和它对应，那么就称，：A一曰为从集合A到集合的一一0，即为过点P处曲线切线方程的斜率。个函数，记作Y=，()，EA．初中阶段定义方式是从运动学由上述两个方面的论述，但函数可以简单理解为：函数角度，刻画动态变化现象，描述变量之间的依赖关系；而高中，()在到‰的变化量，即4厂()比上到。的变化量△．阶段从静态描述数集之间的对应关系，定义中的对应关系可以成为函数机。为帮助学生理熟悉和理解，给出下列两道例题：导函数的学习属于选修2—2中第一章，属于难点知识教学，学生记住六

4、种基本函数的求导公式，机械性的填写三例1：已知lim-二二=2，求，(XO)．~x-,O△阶段的表格图，大部分学生没有从本质上理解导函数的由来课堂中曾测试过学生，70％以上的学生给出的答案为2，和广泛的实用性。可以说明学生大部分是没有理解导函数的概念。下面我们依照函数概念的给出，从动态和静态两个不同角度分析导函数，帮助教师教学和学生学习。解析：)=lim，分母～1．静态角度与分子之间存在限制关系，分母为两个函数值间自变量的我们在描述一个运动的物体的变化快慢，会有两种描述差，即此题要求厂(。)，即应先写

5、出表达式：方式，单位时间内的路程变化，实际上求出的是物体运动的平均速度，而要具体描述物体某一时刻的速度，又该怎样求)=一lira=解呢，这就要引入到了导函数概念。不难写出，运动的物体速度的求解式为：=一一÷堕————一又义知刘：————一-2，：得出厂()=一1t假设某一质点作直线运动，其运动规律为．s=．s(t)，若变式1．lim二=2，求，(。)．给出某一时刻t。，要求此时刻质点的运动速度。设t为邻近与的时刻，则有t到t。的平均速度为：变式的设题目的在于学生理解函数的定义式：lim=．一S(t)一

6、S(￡o)例2：求曲线y=。在点P(1，1)出的切线方程。t—to记：△￡=￡一，则△￡越小，表示的平均速度的时间段越解析：：+3xoA短，当一0时，我们可以理解为，此时表达式描述的平均速厂(0)=i(3．x+30+Ax)=3x，度就越接近于某一时刻t。的瞬间速度：一S(t0+△t)一S(t0)即有———一，(1)=3根据点斜式得：在此基础上我们定义导函数的概念：y一1=3(一1)函数)在=‰处是瞬时变化率：即．△，，o+)一，(X0)y=3x一2———■一变式2：求曲线Y=过点P(2，1)出的切线方

7、程。我们称之为函数，()在=。处的导数，记作厂(‰)变式2设题目的，要求学生了解导数的几何意义，导函或YI=0．数的集合意义在于，函数，()在点=。的切线斜率，前提厂()为函数)的导函数，给出不同点的值，可以求条件是能够求出，(。)，若，(。)≠Yo说明该点不在曲线上，出该点处的导数。解题的第一步先检验已知点是否在原函数上，若不是，先求2．动态角度出过已知点P的切线与曲线的切点0，再求切点0处的导要求某一曲线过某点出的割线方程，用点斜式表示，只数，得出斜率，不可直接求点P导数。一9l一