全局最优化问题的一个无参数的填充函数算法-论文.pdf

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1、数学杂志Vo1．34(2014)J．ofMath．(PRC)NO．4全局最优化问题的一个无参数的填充函数算法李博，鲁殿军(青岛科技大学数理学院，山东青岛266061)摘要：本文研究了全局最优化问题．利用构造填充函数的方法，提出了一个新的无参数填充函数，它是目标函数的一个明确表达式．得到了一个新的无参数填充函数算法，数值试验结果表明该填充函数算法是有效的，从而推广了填充函数算法在求解全局最优化问题方面的应用．关键词：非线性规划；全局最优化；确定性算法；填充函数MR(2010)主题分类号：90C30中图分类号：O221．2文献标识码：A文

2、章编号：0255．7797(2014)04—0773—061引言填充函数法由葛仁溥教授在1990年提出，是求解全局最优化问题的一种确定性算法．实践表明它是求解全局最优化问题的一种有效方法．在社会生产中遇到的许多实际问题都可以转化为全局最优化问题．因此，对它的研究有着重要的理论和实际应用意义．文献[1】中给出了一个带两个参数的填充函数p)=南唧(一)．(1．)数值试验表明，该填充函数和算法是有效的，但存在如下的缺陷[21．首先，该算法的运算效率很大程度上依赖于两个参数r和P．如果参数r较大而P。与r+f(x)的比较小，那么f(x)的全局

3、极小点会在计算中被遗漏；其次文献f3]中，由于函数(1．1)中存在指数项exp(一若)，在IIx—刊过大或P过小时，p(，，r，P)和lIVp(x7，，，P)lI将变得很小，从而产生假的平衡点．为解决以上问题，以后的学者构造了一些新的填充函数，其中文献『31给出了一个只含有一个参数的填充函数日(1，。)=可一n一(1．2)其中参数a应充分大．该填充函数比(1．1)在效率上有了一定提高，但仍存在参数的选取问题．文献[4]给出了一无参数填充函数F(，)=『『(，()一，())，(1．3)收稿日期：2013．05—15接收日期：2013—0

4、9．03作者简介：李博(1957-)，男，山东桓台县，教授，主要研究方向：最优化理论与应用数学杂志其中)=数值试验表明填充函数(1．3)是有效的．由于不需要调整参数，提高了运算效率．但F(x，X1)不是关于目标函数f(x)的明确表达式．本文研究了以上填充函数，为克服其存在的缺陷，构造了一个无参数的填充函数，该填充函数具有关于目标函数f(x)的明确表达式．进行了数值试验．2全局优化模型和填充函数定义关于填充函数的盆地和山头的定义详见参考文献[1]本文考虑如下全局无约束最优化问题minf(x1(2．1)∈Rn‘、其中f(x)是一R的目标函

5、数是n维向量．设目标函数f(x)满足一下假设【1】．(1)目标函数f(x)在R上连续可微；(2)当忪lI一+。。时，，()一+∞．在该假设的条件下，意味着存在一个有界闭区域Q，使得在它的内部包含了。厂()的所有全局极小点；(3)目标函数。厂()在上只有有限个局部极小点．所以每个极小点都是孤立的，而且对于f(x)的每一个极小点处的盆地B内的任意点≠，都有f(x)>f(x)．定义1[】设z是f(x)的一个己知的局部极小点，如果P(x，)满足一下条件：(1)z是P(x，)的局部极大点，并且f(x)的整个盆地B变成了P(，)的山头的一部分；(

6、2)P(x，)在f(x)的任何比高的盆地里没有极小点或者鞍点；(3)如果f(x)在处有比B低的盆地，则中存在一个点，它在和的直线上且最小化P(x，。)，其中是的某一邻域中的任意一点，则P(，)称为f(x)在点处的一个填充函数．3无参数填充函数构造填充函数：w(x，)=一[arctan(e(f(z)一，())一1)]JI—zJl其中z是t厂()的一个己知的局部极小点．定理1w(x，)是一个连续函数．证由假设条件(1)易得w(x，)是一个连续函数．定理2设是f(x)的一个已知的局部极小点，则点是w(x，)的一个严格局部极大点．N0．4李博

7、等：全局最优化问题的一个无参数的填充函数算法证因为X是f(x)的一个局部极小点，所以在的盆地B内，任意X∈B且z≠X时，f(x)>f(x)．所以对任意的∈B且≠，W(x，)=一[arctan(e(f()一，())一1)]1l—ll。<0，又因为W(x，X)=0，所以W(x，X)，()且X≠，则VW(x，X)≠0．证因为w(x，)=一[arctan(e(f()一，())一1)]IJ—JI。，则VW(x，)：一e，()一f(x)X—Il。Vf(x)一2[arctan

8、(e(f(∞)一，(z))一1)](—)1+[ef()一，(z)一1]由X≠且f(x)>f(x)可知，(∞)一f(x)PX—>0，arctan(e(／()一))一1)>01+[el()一，(z)～1]因为，()在R”上连