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1、第四节空间图形及演绎证明的基本方法二、空间图形演绎证明的基本方法与技巧一、空间图形的位置关系与度量关系一、空间图形的位置关系与度量关系1、位置关系◆立体几何的公理体系中学数学教育在集合概念的基础上，采用公理化方法给出平面的基本性质，进而以平面为依托，结合公共点的个数定义了直线、平面之间的相互位置关系。立体几何课程的基础就是对点、线、面的各种位置关系进行讨论与研究，得出空间图形的基本性质。(P148~149：公理与推论)◆空间基本元素位置关系的定义、判断、性质P1492、度量关系◆距离的概念必须具备三条性质：10.非负性30.三角
2、不等式20.对称性◆空间各种度量关系的共同点：10.存在性20.唯一性◆两图形间距离的概念：P150集合+度量=空间◆求空间两基本元素间距离的途径：(3)利用经典定义转化为求某线段长度的最小值(2)用面积法、体积法等间接手段;(1)由定义直接作出垂线段,求出其长;(利用函数求最值的代数方法)∴所求距离为2d=.例1(2012年全国高考题)设点P在曲线y=ex/2上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则∣PQ∣的最小值为（）(A)(B)(C)(D)解法1(切线法)两曲线互为反函数图形,关于y=x对称，就是y=ex/2上点到y=x距离的
3、2倍.设曲线上P(x0,y0)处的切线与y=x平行,则得P(ln2,1).P到y=x距离为.选(B)所求最小值∴所求距离为2d=.易见在(0,ln2]上单调减,解法2(动点法)两曲线互为反函数图形,关于y=x对称，就是y=ex/2上点到y=x距离的2倍.设曲线y=ex/2上任意一点为P(x,ex/2),则P到y=x距离选(B)所求最小值,令则令得x=ln2,在[ln2,+∞)单调增，又∴例2正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a,求异面直线A1B与B1D1的距离.解法1(公垂线法)ABCDA1B1C1D1解法2(线面平行法)解
4、法3(体积法)解法4(函数最值法)二、空间图形演绎证明的基本方法与技巧1、基本方法打好基础应从以下几个方面注意：(1)画好恰当的直观图形注意画图规则,突出主要部分.有立体感,(2)熟悉、熟练运用有关定义和定理（期中考试要求立体几何解答必须在本章知识范围内进行）(2)设M为DE的中点,求FM与平面所成角的余弦值.平面BCD,F为的中点.例3(2010年浙江高考(文))在ABCD中,AB=2BC,∠ABC=1200,E为AB的中点,将△ADE沿DE翻折成使平面(1)求证：BF∥平面分析取中点G,(1)由线面平行判定定理,设法证明BF
5、∥EG;(2)由线面所成角的定义,需作出相应的角,再进入计算.这需要对平行四边形及面面垂直条件进行研究,挖掘隐含条件：CE⊥面启发A′ABCDMFEN作辅助线FN(N为的中点)A′ABCDMFEA′ABCDGMFE请同学给出解答过程标准答案：(1)证明连GE、GF,取中点G,由条件易知,GF∥CD,GF=CD/2,BE∥CD,BE=CD/2,∴GF∥BE,GF=BE,∴四边形BEGF为,∴BF∥EG.∵EG平面平面∴BF∥平面.A′ABCDMFENA′ABCDGMFE(2)解连CE,设BC=a,则AB=CD=2a,AE=AD=B
6、E=a.∵在△BCE中,可得在△ADE中,可得DE=a.在△CDE中,∵CE2+DE2=CD2，∴CE⊥DE.而与DE交于点M,A′ABCDMFEN(2)解连CE,设BC=a,则AB=CD=2a,AE=AD=BE=a.∵在△BCE中,可得在△ADE中,可得DE=a.在△CDE中,∵CE2+DE2=CD2，∴CE⊥DE.在正中,M为DE的中点,∴∴∠FMN平面BCD,由平面得平面BCD,∴取中点N,连NM、NF,NF∥CE.∴则平面∴为FM与平面所成的角.在中,评注：立体几何题解答应有规范的求解过程.说明：本题也可以建立直角坐标系
7、,用向量方法求解,把几何推理为主线转化为以代数计算为主,这部分内容将在第7章再讨论.例在正方体ABCD-A1B1C1D1中,过顶点A作平面与12条棱所在直线所成的角皆相等,则满足条件的平面个数有()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个分析ABCDA1B1C1D112条棱分为3组,每组中各棱平行,故不妨取从同一顶点出发的三条棱为代表进行研究.(3)熟悉基本图形面AB1C、面AB1D1、面ACD1易见,面A1BD平移到过点A的位置得到的平面满故选(D)足条件,也满足条件.例(2009年北京市数学解题能力展示(五年级))如图,长方
8、形ABCD中被嵌入了6个相同的正方形,已知AB=22厘米,BC=20厘米,那么每一个正方形的面积为平分厘米.解(分割法)画出弦图如下图,把每个大正方形四边形BCFE为正方形,由对称性,长直角边长为于是弦图中直角三角形较短直角边长为22-20=2,弦图ACBD分割
