数系的扩充和复数的概念(合成).ppt

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1、第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念问题提出1.数的概念产生和发展的历史进程：正分数正无理数零和负数NQ＋R＋R数系每次扩充的基本原则：第一、增加新元素；第二、原有的运算性质仍然成立；第三、新数系能解决旧数系中的矛盾.3.唯物辨证法认为，事物是发展变化的，事物内部的矛盾运动是推动事物向前发展的根本动力.由于实数的局限性，导致某些数学问题出现矛盾的结果，数学家们预测，在实数范围外还有一类新数存在，还有比实数集更大的数系.问题提出数系的扩充和复数的概念1、由得，这与矛盾的原因是什么？方程x2－x＋1＝0无

2、实根2、方程x2－x＋1＝0无实根的根本原因是什么？－1不能开平方问题探究3、我们设想引入一个新数，用字母i表示，使这个数是－1的平方根，即i2＝－1，那么方程x2－x＋1＝0的根是什么？问题提出4、若x4＝1，利用i2＝－1,则x等于什么？1，－1，i，－i.问题提出5、满足i2＝－1的新数i显然不是实数，称为虚数单位，根据数系的扩充原则，应规定虚数单位i和实数之间的运算满足哪些运算律？乘法和加法都满足交换律、结合律，乘法对加法满足分配律.问题探究6、设a∈R，下列运算正确吗？问题探究1、虚数单位i与实数进行四则运算，可以

3、形成哪种一般形式的数？a＋bi（a，b∈R）2、把形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，全体复数所成的集合叫做复数集，记作C，那么复数集如何用描述法表示？C＝{a＋bi

4、a，b∈R}问题探究3、复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi（a，b∈R），这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部，那么复数z＝－3i的实部和虚部分别是什么？实部为,虚部为－3.问题探究4、两个实数可以相等，两个复数也可以相等，并且规定：a＋bi＝c＋di（a，b，c，d∈R）的充要条件是a＝c且b＝d，那么a＋bi＝0的充要

5、条件是什么？a＝b＝0问题探究5、对于复数z＝a＋bi（a，b∈R）当b＝0时，z为什么数？由此说明实数集与复数集的关系如何？当b＝0时z为实数.实数集R是复数集C的真子集.问题探究6、对于复数z＝a＋bi（a，b∈R）当b≠0时，z叫做虚数，当a＝0且b≠0时，z叫做纯虚数，那么虚数集与纯虚数集之间如何？纯虚数集是虚数集的真子集.问题探究7、复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系用韦恩图怎样表示？复数实数虚数纯虚数问题探究8、两个实数可以比较大小，一个实数与一个虚数或两个虚数可以比较大小吗？虚数不能比较大小.实部复数的

6、代数形式：通常用字母z表示，即虚部其中称为虚数单位。复数集C和实数集R之间有什么关系？讨论？复数a+bi例1实数m取什么值时，复数z＝m＋1＋(m－1)i分别是实数，虚数和纯虚数？当m＝－1时，z是纯虚数.典例讲评当m＝1时，z是实数；当m≠1时，z是虚数；练习1设复数z=lg(m2–2m–2)+(m2+3m+2)i，试求实数m取何值时。（1）z是纯虚数；（2）z是实数；例2设x，y∈R，并且(2x–1)+xi=y–(3–y)i，求x，y。解题总结：复数相等的问题转化求方程组的解的问题一种重要的数学思想—转化思想练习设复数z

7、1＝(x－y)＋(x＋3)i，z2＝(3x＋2y)－yi，若z1＝z2，求实数x，y的值.x＝－9，y＝6.典例讲评1.将实数系扩充到复数系是源于解方程的需要，到十九世纪中叶已建立了一套完整的复数理论，形成一个独立的数学分支.课堂小结2.虚数单位i的引入解决了负数不能开平方的矛盾，并将实数集扩充到了复数集，它使得任何一个复数都可以写成a＋bi（a，b∈R）的形式.课堂小结3.复数包括了实数和虚数，实数的某些性质在复数集中不成立，如x2≥0；若x－y＞0，则x＞y等，今后在数学解题中，如果没有特殊说明，一般都在实数集内解决问题

8、.课堂小结变式练习1.若方程+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一个实数根，试求实数m的值.2.已知不等式-(-3m)i<10+(-4m+3)i,试求实数m的值.误点警示：虚数不能比较大小！3.1数系的扩充和复数的概念3.1.2复数的几何意义1.虚数单位i的基本特征是什么？（1）i2＝－1；（2）i可以与实数进行四则运算，且原有的加、乘运算律仍然成立.复习巩固2.复数的一般形式是什么？复数相等的充要条件是什么？a＋bi（a，b∈R）；实部和虚部分别相等.3.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如何？复数实数虚数纯虚

9、数复习巩固实部复数的代数形式：通常用字母z表示，即虚部其中称为虚数单位。复数a+bi4.实数与数轴上的点一一对应，从而实数可以用数轴上的点来表示，这是实数的几何意义，根据类比推理，复数也应有它的几何意义.因此，探究复数的几何意义就成为一个新的学习内容.提出问题复数的几何意义1、在什么条件下