专题三-----数学建模与实际应用.doc

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1、.专题三数学建模与实际应用知识概要我们把某种事物系统的主要特征、主要关系抽象出来，用数学语言概括地或近似地表述出来的一种数学结构，称为数学模型。数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的一个近似的反映。初中数学常见的数学模型有：依据相等（或不等）关系抽象成方程（或不等式）模型，以解决利息和税率、百分率、工程及劳力调配等问题；有依据平面几何性质抽象成的几何模型，以解决零件加工、残轮修复、工程选点、道路设计及飞轮、皮带、拱桥等计算的问题；有关测量、航海、机翼、渠坝坡比、燕尾槽、屋架的计算等应用问题可建立三角函数模型予以解决；还可以建立直角坐标系模型，以解决投物、射

2、击、喷灌等物体运动的轨迹有某种规律，或者变量的变化具有某种函数关系的实际问题；在市场经济大潮中，人们更加注重对普遍存在的诸如造价成本最低、产出利润最大，风险决策、股市、期货、开源节流、扭亏增盈、最优化等问题的研究，可透过实际问题的背景，抓住本质，挖掘隐含的数量关系，抽象成函数最值模型等。范例解析【例1】在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量，三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：甲同学说：二环路车流量每小时为10000辆；乙同学说：四环路比三环路车流量每小时多2000辆；丙同学说：三环路车流量的3倍与四环

3、路车流量的差是二环路车流量的2倍。请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少？【解析】此题已知三个常量之间的关系，通过建立方程模型来解决。在建立方程模型时，应注意寻找问题中的已知量、未知量之间的等量关系来建立方程。解：设高峰时段三环路的车流量为每小时x辆，则高峰时段四环路的车流量为每小时(x+2000)辆。根据题意，得3x-(x+2000)=2×10000。解这个方程，得x=11000。故x+2000=13000。答：高峰时段三环路、四环路的车流量分别为每小时11000辆和13000辆。【例2】某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，

4、物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱。（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式。（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式。QMPAO4.5米B小敏灯柱小丽55°（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？【解析】（1）y=90－3（x－50）化简，得y=－3x＋240（2）w=（x－40）（－3x＋240）=－3x2＋360x－9600（3）w=－3x2＋360x－9600=－3

5、（x－60）2＋1125∵a=－3＜0　∴抛物线开口向下.当x=60时，w有最大值，又x＜60，w随x的增大而增大，∴当x=55时，w的最大值为1125元，∴当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得最大利润1125元的最大利润【例3】如图点P表示广场上的一盏照明灯。QEDFMPCAO4.5米B小敏灯柱小丽55°（1）请你在图中画出小敏在照明灯P照射下的影子（用线段表示）；（2）若小丽到灯柱MO的距离为1.5米，小丽目测照明灯P的仰角为55°，她的目高QB为1.6米，试求照明灯P到地面的距离；结果精确到0.1米；参考数据：tan55 °≈1.428，sin55°≈

6、0.819，cos55°≈0.574。【解析】（1）如图，线段AC是小敏的影子。（2）过点Q作QE⊥MO于E，过点P作PF⊥AB于F，交EQ于点D，则PF⊥EQ。在Rt△PDQ中，∠PQD=55°，DQ=EQ－ED=4.5－1.5=3（米）。∵tan55°=,∴PD=3tan55≈4.3（米）∵DF=QB=1.6米.∴PF=PD＋DF=4.3＋1.6=5.9（米）。答：照明灯到地面的距离为5.9米。【例4】(2006年东营市中考题)某单位欲从内部招聘管理人员一名，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试，三人的测试成绩如下表所示：测试项目测试成绩/分甲乙

7、丙笔试758090面试937068甲：25%丙：35%乙：40%根据录用程序，组织200名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议，三人得票率（没有弃权票，每位职工只能推荐1人）如扇形统计图所示，每得一票记作1分．(1)请算出三人的民主评议得分；(2)如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用（精确到0.01分）？(3)根据实际需要，单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按4∶3∶3的比例确定个人成绩，那么谁将被录用？【解析】（1）甲的民主评议得分为：200×25%=50(分)，乙的民主评议得分为：200×40%=80(分)，丙的民主评议得分为：2

8、00×35%=70(分)。（2）甲的平