函数及其表示知识点大全、经典例题及解析、今年高考题带答案.doc

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1、.函数及其表示【考纲说明】1、了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。2、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。3、了解简单的分段函数，并能简单应用。4、本部分内容在高考中约占10分。【趣味链接】教室里有40个人（看成集合A），刚好有40张椅子（看成集合B）。如果你们很听话，每人坐一张椅子，就是一对一映射。但是如果你喜欢那个女生，你跑去和她共用一张椅子，也就是两个人都对应着同一张椅子，这就是多对一映射。但是你不可以一个人坐两张椅子，这样很霸道。也就是说你多少个

2、人坐一张椅子都没关系，但是一个人不能坐多张椅子。也就是集合A中的很多元素都可以对应着集合B中的同一个元素，但是集合A中的一个元素不能同时对应着集合B中的多个元素。于是，总的一句话，映射就是集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应。这句话有两个词很重要，一个是任意，另一个是唯一。而函数呢，只要映射当中的集合A和集合B里面的元素都是数就叫做函数了。【知识梳理】一、函数的概念1、设是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的任意元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从到的映射，通常记为，f表示

3、对应法则。给定一个集合到集合的映射，且。如果元素和元素对应，那么我们把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象．注意：（1）A中元素必须都有象且唯一；（2）B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。2、函数的定义：设是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中的任意一个，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数，通常记为。3、函数的定义域、值域在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合称为函数的值域。显然，值域是集合B的子集。..4、函数的三要素：定义域、值域

4、和对应关系。5、区间的概念及表示法设是两个实数，且，满足的实数的集合叫做闭区间，记做；满足的实数的集合叫做开区间，记做；满足，或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别记做，；满足的实数的集合分别记做。注意：对于集合与区间，前者可以大于或等于，而后者必须。6、求函数的定义域时，一般遵循以下原则：　①是整式时，定义域是全体实数。　②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数。　③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合。④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1。　⑤中，。　⑥零（负）

5、指数幂的底数不能为零。　⑦若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集。　⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知的定义域为，其复合函数的定义域应由不等式解出。　⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论。　⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义。二、函数的表示方法函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法1、图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；2、列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；3、解

6、析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。三、分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数。四、求函数解析式常用的方法1、待定系数法待定系数法是求函数解析式的常用方法之一，它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目，它在函数解析式的确定中扮演着十分重要的角色。其方法：已知所求函数类型，可预先设出

7、所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。2、换元法换元法也是求函数解析式的常用方法之一，它主要用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。..3、配凑法已知复合函数的表达式，要求的解析式时，若表达式右边易配成的运算形式，则可用配凑法，使用配凑法时，要注意定义域的变化。4、消元法，此方法的实质是解函数方程组消元法适用的范围是：题高条件中，有若干复合函数与原函数混合运算，则要充分利用变量代换，然后联

8、立方程组消去其余部分。5、赋值法赋值法是依据题条件的结构特点，由特殊到一般寻找普遍规律的方法。其方法：将适当变量取特殊值，使问题具体化、简单化，依据结构特点，从而找出一般规律，求出解析式。【经典例题】【例1】（2009山东理）定义在R上的函数f(x