概率经典例题及解析、近年高考题50道带答案

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1、【经典例题】【例1】(2012湖北)如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆.在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是A.1-B.-C.D.【答案】A【解析】令OA=1,扇形OAB为对称图形,ACBD围成面积为S1,围成OC为S2,作对称轴OD,则过C点.S2即为以OA为直径的半圆面积减去三角形OAC的面积,S2=()2-××=.在扇形OAD中为扇形面积减去三角形OAC面积和,=π×12--=,S1+S2=,扇形OAB面积S=,选A.【例2】(2013湖北)如图所示,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体,经

2、过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为X,则X的均值E(X)=(  )A.B.C.D.【答案】B【解析】X的取值为0,1,2,3且P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,故E(X)=0×+1×+2×+3×=,选B.【例3】(2012四川)节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是(  )A.B.C.D.【答案】C【解析】设第一串彩灯在通电后第x秒闪亮,第二串彩灯在通电后

3、第y秒闪亮,由题意13满足条件的关系式为-2≤x-y≤2.根据几何概型可知,事件全体的测度(面积)为16平方单位,而满足条件的事件测度(阴影部分面积)为12平方单位,故概率为=.【例4】(2009江苏)现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3m的概率为.【答案】0.2【解析】从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10,它们的长度恰好相差0.3m的事件数为2,分别是:2.5和2.8,2.6和2.9,所求概率为0.2【例5】(2013江苏)现有某类病毒记作XmYn,其中正整

4、数m,n(m≤7,n≤9)可以任意选取,则m,n都取到奇数的概率为________.【答案】【解析】基本事件共有7×9=63种,m可以取1,3,5,7,n可以取1,3,5,7,9.所以m,n都取到奇数共有20种,故所求概率为.【例6】(2013山东)在区间[-3,3]上随机取一个数x,使得

5、x+1

6、-

7、x-2

8、≥1成立的概率为________.【答案】【解析】当x<-1时,不等式化为-x-1+x-2≥1,此时无解;当-1≤x≤2时,不等式化为x+1+x-2≥1,解之得x≥1;当x>2时,不等式化为x+1-x+2≥1,此时恒成立,∴

9、x+1

10、-

11、x-2

12、≥1的解集为.在上使

13、不等式有解的区间为,由几何概型的概率公式得P==.【例7】(2013北京)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.(1)求此人到达当日空气重度污染的概率;(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与数学期望;(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)【答案】;;3月5日【解析】设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i=1,2,…,13).根据题意,P(Ai)=,且Ai∩Aj

14、=(i≠j).(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”,则B=A5∪A8.13所以P(B)=P(A5∪A8)=P(A5)+P(A8)=.(2)由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,且P(X=1)=P(A3∪A6∪A7∪A11)=P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)=,P(X=2)=P(A1∪A2∪A12∪A13)=P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)=,P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)=.所以X的分布列为X012P故X的期望E(X)=0×+1×+2×=.(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.【例8】(2013福

15、建)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为,中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为,中奖可以获得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为X,求X≤3的概率;(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较大?【答案】;方案甲.【解析】方法一:(1)由已知得,小明中奖的概率为,小红中奖的概率为,且两人中奖与否互不影响.记

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