奥数-鸽笼原理.doc

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1、鸽笼原理（17年7月13日）若干名小朋友购买单价为3元、5元的两种商品，不能什么都不买，购买总价也不能超过15元。老师说：至少有3名小朋友买的商品相同。请问至少有多少名小朋友？ 该题目属于鸽笼原理问题，解题思路可化为以下三道题目： 题目一（简单）小明养了一群鸽子，只有5个笼子，不管怎么安排，至少有1个笼子里要喂养3只鸽子。请问小明至少养了多少鸽子？ 题目二（中等难度）若干名小朋友购买单价为3元、5元的两种商品，不能什么都不买，购买总价也不能超过15元。请问有多少种不同的商品购买方式？ 题目三（进阶思考,华杯赛真题）若干名小朋友购买单价为3元、5元的两种商品，不能什么都不买，

2、购买总价也不能超过15元。老师说：至少有3名小朋友买的商品相同。请问至少有多少名小朋友？  以下为答案：题目一：答:至少11只。该题就是鸽笼原理。从极端情况考虑，将5个笼子中逐个安排鸽子，至少11只就满足题目要求。 题目二：答:12种。分类讨论：第一类是没有购买5元商品，则3元商品可能购买1、2、3、4、5共5种；第二类是购买1个5元商品，则3元商品可能购买0、1、2、3共4种；第三类是购买2个5元商品，则3元商品可能购买0、1共2种；第四类是购买3个5元商品，则3元商品只能购买0共1种。所以，共12=5+4+2+1种购买方式。 题目三：答:25名。从题目二知道，共12种购

3、买方式，应用鸽笼原理，要使得至少3人购买的商品相同，至少需25名小朋友。鸽笼原理（17年2月13日）题目一：（简单）若干名小朋友购买单价为3元和5元的两种商品，每人至少买一件，但每人购买的商品的总金额不得超过15元。问：每名小朋友可能有多少种买法？ 题目二（中等难度）若干名小朋友购买单价为3元和5元的两种商品，每人至少买一件，但每人购买的商品的总金额不得超过15元。小明说：小朋友中一定至少有2人购买的两种商品的数量完全相同。问：至少有多少名小朋友？ 题目三：（进阶思考，华杯赛真题）若干名小朋友购买单价为3元和5元的两种商品，每人至少买一件，但每人购买的商品的总金额不得超过1

4、5元。小明说：小朋友中一定至少有三人购买的两种商品的数量完全相同。问：至少有多少名小朋友？排列组合问题（17年10月17日）幼儿园分发水果，共6种不同的水果，每种水果的数量都足够多。每个小朋友拿2个水果，可以是相同的也可是不同的。老师发现，不管怎么分发，总有两个小朋友拿到的水果相同。请问至少有多少名小朋友？ 答案：22。 讲解思路：解答这种涉及到至少的问题，鸽笼原理是必须应用的。为此，需思考两个问题：一是水果可能有多少种不同的搭配方法；二是如何利用鸽笼原理。 步骤1：先思考第一个问题，共6种水果，每人2个，考虑水果相同和水果不同的两种情况，当2个水果相同时，共6种可能；当2

5、个水果不同时，共6*5/2=15种可能。因此，不同的搭配方法共21=15+6种。 步骤2：再思考第二个问题，应用鸽笼原理，所谓鸽笼原理，通俗的来说就是3只鸽子放进2个笼子里时，至少有1个笼子里需要安排2只鸽子。此处，笼子就是水果的搭配方法，那小朋友的个数至少要比搭配方法多1.所以，小朋友至少有22=21+1名。 思考题：幼儿园分发水果，共6种不同的水果，每种水果的数量都足够多。每个小朋友拿3个水果，可以是相同的也可是不同的。老师发现，不管怎么分发，总有两个小朋友拿到的水果相同。鸽笼原理（18年5月10日）在盒子里放有2018张卡片，编号分别为1-2018。小明从盒子中取出一

6、些卡片，要保证其中有5张卡片编号的数字和相等，至少要取出多少张卡片？ 答案：110张。 讲解思路：看到这种类型的题目，就应该想到鸽笼原理：3只鸽子放到2个笼子中，必定有1个笼子里至少有2只鸽子。这个原理看起来很简单，但应用却十分广泛。在本题中数字和就是笼子，而卡片的编号就是鸽子。 步骤1：先思考第一个问题，1-2018的数字和共有多少个？由于1-2018的所有自然数中，1999的数字和最大，是28。因此数字和共有28个。 步骤2：再思考第二个问题，数字和对应的数字小于5个的是哪些？显然，数字和28对应的数字只有1个，27和1对应的数字只有4个，数字和2-26对应的数字都多余

7、4个。 步骤3：综合上述几个问题，应用鸽笼原理的思路，考虑最极端的情况，卡片编号既包含数字和是1的4张卡片，也包含数字和是28的1张卡片，还包含数字和是2-27的各4张卡片，此时如果再增加1张卡片，那一定有数字和相等的5张卡片。所以，卡片数量最少是4+1+4*26+1=110。 思考题：在盒子里放有2018张卡片，编号分别为1-2018。小明从盒子中取出一些卡片，要保证其中有4张卡片编号的数字和相等，至少要取出多少张卡片？鸽笼原理（18年7月2日）题目（4星难度）：某班的毕业十周年同学会上，来的人有老师也有学生，每