决战2020年中考数学压轴题综合提升训练《图形的相似》.doc

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1、《图形的相似》1.如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0<t<2),连接PQ.(1)若△BPQ与△ABC相似,求t的值;(2)(如图2)连接AQ,CP,若AQ⊥CP,求t的值.解:(1)①当△BPQ∽△BAC时,∵,BP=3t,QC=2t,AB=10cm,BC=8cm,∴,∴;②当△BPQ∽△BCA时,∵,∴,∴,∴或时,△BPQ与△ABC相似;(2)如图所示,过P作PM⊥BC于点M,AQ,C

2、P交于点N,则有PB=3t,,,,∵∠NAC+∠NCA=90°,∠PCM+∠NCA=90°,∴∠NAC=∠PCM且∠ACQ=∠PMC=90°,∴△ACQ∽△CMP,∴,∴解得:;2.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点都在格点上,点A的坐标为(2,﹣1),请解答下列问题:(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,点A1的坐标为 (2,1) ;(2)在网格内以点(1,1)为位似中心,把△A1B1C1按相似比2:1放大,得到△A2B2C2,请画出△A2B2C2;若边AC上任意一点P的坐标为(m,n),则两次变换后对应点P2的坐标为 (﹣2m+3,2n+3) 

3、.解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求;点A1的坐标为(2,1);故答案为:(2,1);(2)如图所示,△A2B2C2即为所求;P2的坐标为(﹣2m+3,2n+3).故答案为:(﹣2m+3,2n+3).3.综合与实践﹣探究正方形旋转中的数学问题问题情境:已知正方形ABCD中,点O在BC边上,且OB=2OC.将正方形ABCD绕点O顺时针旋转得到正方形A′B′C′D′(点A′,B′,C′,D′分别是点A,B,C,D的对应点).同学们通过小组合作,提出下列数学问题,请你解答.特例分析:(1)“乐思”小组提出问题:如图1,当点B′落在正方形ABCD的对角线BD上时,设线

4、段A′B′与CD交于点M.求证:四边形OB′MC是矩形;(2)“善学”小组提出问题:如图2,当线段A′D′经过点D时,猜想线段C′O与D′D满足的数量关系,并说明理由;深入探究:(3)请从下面A,B两题中任选一题作答.我选择 A 题.A.在图2中连接AA′和BB′,请直接写出的值.B.“好问”小组提出问题:如图3,在正方形ABCD绕点O顺时针旋转的过程中,设直线BB′交线段AA′于点P.连接OP,并过点O作OQ⊥BB′于点Q.请在图3中补全图形,并直接写出的值.(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴BC=CD,∠C=90°,∴∠CBD=∠CDB=45°;由旋转可知,

5、OB=OB’,∴∠OB’B=∠OBB’=45°,∵∠B’OC是△BOB’的一个外角,∴∠B’OC=∠OB’B+∠OBB’=45°+45°=90°,∵四边形A’B’C’D’是正方形,∴∠OB’M=90°,∴四边形OB’MC是矩形;(2)解:D’D=2C’O,理由如下:如图2①,连接OD,OD’,过点O作OE⊥D’D于点E,则∠OED’=90°,由旋转可知,OD=OD’,则D’D=2D’E,∵四边形A’B’C’D’是正方形,∴∠C′=∠OED′=90°,∴四边形OC’D’E是矩形,∴C’O=D’E,∴D’D=2C’O;(3)解:A、如图2②,连接AA′,BB′,OA,OA

6、′,∵将正方形ABCD绕点O顺时针旋转得到正方形A′B′C′D′,∴OB=OB′,OA=OA′,∠BOB′=∠AOA′,∴,∴△OBB′∽△OAA′,∴=,∵AB=BC,OB=2OC,∴设OC=x,则OB=2x,∴AB=BC=3x,∴OA===x,∴===;B、如图3,连接OA,OA′,∵将正方形ABCD绕点O顺时针旋转得到正方形A′B′C′D′,∴OB=OB′,OA=OA′,∠BOB′=∠AOA′,∴∠OBB′=∠OAA′,∴点A,B,O,P四点共圆,∴∠ABO+∠APO=180°,∴∠APO=90°,∵OQ⊥BB′,∴∠BQO=∠APO=90°,∴△OAP∽△OB

7、Q,∴=.4.如图,矩形OABC边OA,OC分别在x轴,y轴上,且OA=8,OC=6,连接OB,点D为OB中点,点E从点A出发以每秒1个单位长度运动到点B停止,设运动时间为t(0<t<6),连接DE,作DF⊥DE交OA于F,连接EF.(1)如图1,当四边形DFAE为矩形时,求t的值;(2)如图2,试证明在运动过程中,△DFE∽△ABO;(3)当t为何值时,△AEF面积最大?最大值为多少?解:(1)∵四边形OABC是矩形,∴AB=OC=6,∠OAB=90°,∵四边形DFAE是矩形,∴∠BED=90°=∠OAB,∴DE∥OA,∵点D是OB的中点,∴点E是

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1、《图形的相似》1.如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0<t<2),连接PQ.(1)若△BPQ与△ABC相似,求t的值;(2)(如图2)连接AQ,CP,若AQ⊥CP,求t的值.解:(1)①当△BPQ∽△BAC时,∵,BP=3t,QC=2t,AB=10cm,BC=8cm,∴,∴;②当△BPQ∽△BCA时,∵,∴,∴,∴或时,△BPQ与△ABC相似;(2)如图所示,过P作PM⊥BC于点M,AQ,C

2、P交于点N,则有PB=3t,,,,∵∠NAC+∠NCA=90°,∠PCM+∠NCA=90°,∴∠NAC=∠PCM且∠ACQ=∠PMC=90°,∴△ACQ∽△CMP,∴,∴解得:;2.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点都在格点上,点A的坐标为(2,﹣1),请解答下列问题:(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,点A1的坐标为 (2,1) ;(2)在网格内以点(1,1)为位似中心,把△A1B1C1按相似比2:1放大,得到△A2B2C2,请画出△A2B2C2;若边AC上任意一点P的坐标为(m,n),则两次变换后对应点P2的坐标为 (﹣2m+3,2n+3) 

3、.解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求;点A1的坐标为(2,1);故答案为:(2,1);(2)如图所示,△A2B2C2即为所求;P2的坐标为(﹣2m+3,2n+3).故答案为:(﹣2m+3,2n+3).3.综合与实践﹣探究正方形旋转中的数学问题问题情境:已知正方形ABCD中,点O在BC边上,且OB=2OC.将正方形ABCD绕点O顺时针旋转得到正方形A′B′C′D′(点A′,B′,C′,D′分别是点A,B,C,D的对应点).同学们通过小组合作,提出下列数学问题,请你解答.特例分析:(1)“乐思”小组提出问题:如图1,当点B′落在正方形ABCD的对角线BD上时,设线

4、段A′B′与CD交于点M.求证:四边形OB′MC是矩形;(2)“善学”小组提出问题:如图2,当线段A′D′经过点D时,猜想线段C′O与D′D满足的数量关系,并说明理由;深入探究:(3)请从下面A,B两题中任选一题作答.我选择 A 题.A.在图2中连接AA′和BB′,请直接写出的值.B.“好问”小组提出问题:如图3,在正方形ABCD绕点O顺时针旋转的过程中,设直线BB′交线段AA′于点P.连接OP,并过点O作OQ⊥BB′于点Q.请在图3中补全图形,并直接写出的值.(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴BC=CD,∠C=90°,∴∠CBD=∠CDB=45°;由旋转可知,

5、OB=OB’,∴∠OB’B=∠OBB’=45°,∵∠B’OC是△BOB’的一个外角,∴∠B’OC=∠OB’B+∠OBB’=45°+45°=90°,∵四边形A’B’C’D’是正方形,∴∠OB’M=90°,∴四边形OB’MC是矩形;(2)解:D’D=2C’O,理由如下:如图2①,连接OD,OD’,过点O作OE⊥D’D于点E,则∠OED’=90°,由旋转可知,OD=OD’,则D’D=2D’E,∵四边形A’B’C’D’是正方形,∴∠C′=∠OED′=90°,∴四边形OC’D’E是矩形,∴C’O=D’E,∴D’D=2C’O;(3)解:A、如图2②,连接AA′,BB′,OA,OA

6、′,∵将正方形ABCD绕点O顺时针旋转得到正方形A′B′C′D′,∴OB=OB′,OA=OA′,∠BOB′=∠AOA′,∴,∴△OBB′∽△OAA′,∴=,∵AB=BC,OB=2OC,∴设OC=x,则OB=2x,∴AB=BC=3x,∴OA===x,∴===;B、如图3,连接OA,OA′,∵将正方形ABCD绕点O顺时针旋转得到正方形A′B′C′D′,∴OB=OB′,OA=OA′,∠BOB′=∠AOA′,∴∠OBB′=∠OAA′,∴点A,B,O,P四点共圆,∴∠ABO+∠APO=180°,∴∠APO=90°,∵OQ⊥BB′,∴∠BQO=∠APO=90°,∴△OAP∽△OB

7、Q,∴=.4.如图,矩形OABC边OA,OC分别在x轴,y轴上,且OA=8,OC=6,连接OB,点D为OB中点,点E从点A出发以每秒1个单位长度运动到点B停止,设运动时间为t(0<t<6),连接DE,作DF⊥DE交OA于F,连接EF.(1)如图1,当四边形DFAE为矩形时,求t的值;(2)如图2,试证明在运动过程中,△DFE∽△ABO;(3)当t为何值时,△AEF面积最大?最大值为多少?解:(1)∵四边形OABC是矩形,∴AB=OC=6,∠OAB=90°,∵四边形DFAE是矩形,∴∠BED=90°=∠OAB,∴DE∥OA,∵点D是OB的中点,∴点E是

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