图形的相似压轴题选.doc

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1、图形的相似难题选1.(2014•广东,第25题9分)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥AB于点D,BC=10cm,AD=8cm.点P从点B出发,在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动,与此同时,垂直于AD的直线m从底边BC出发,以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移,分别交AB、AC、AD于E、F、H,当点P到达点C时,点P与直线m同时停止运动,设运动时间为t秒(t>0).(1)当t=2时,连接DE、DF,求证:四边形AEDF为菱形;(2)在整个运动过程中,所形成的△PEF的面积存在最大

2、值,当△PEF的面积最大时,求线段BP的长;(3)是否存在某一时刻t,使△PEF为直角三角形?若存在,请求出此时刻t的值;若不存在,请说明理由.考点:相似形综合题.分析:(1)如答图1所示,利用菱形的定义证明;(2)如答图2所示,首先求出△PEF的面积的表达式,然后利用二次函数的性质求解;(3)如答图3所示,分三种情形,需要分类讨论,分别求解.解答:(1)证明:当t=2时,DH=AH=2,则H为AD的中点,如答图1所示.又∵EF⊥AD,∴EF为AD的垂直平分线,∴AE=DE,AF=DF.∵AB=

3、AC,AD⊥AB于点D,∴AD⊥BC,∠B=∠C.∴EF∥BC,∴∠AEF=∠B,∠AFE=∠C,∴∠AEF=∠AFE,∴AE=AF,∴AE=AF=DE=DF,即四边形AEDF为菱形.(2)解:如答图2所示,由(1)知EF∥BC,∴△AEF∽△ABC,∴,即,解得:EF=10﹣t.S△PEF=EF•DH=(10﹣t)•2t=﹣t2+10t=﹣(t﹣2)2+10∴当t=2秒时,S△PEF存在最大值,最大值为10,此时BP=3t=6.(3)解:存在.理由如下:①若点E为直角顶点,如答图3①所示,此时

4、PE∥AD,PE=DH=2t,BP=3t.∵PE∥AD,∴,即,此比例式不成立,故此种情形不存在;②若点F为直角顶点,如答图3②所示,此时PE∥AD,PF=DH=2t,BP=3t,CP=10﹣3t.∵PF∥AD,∴,即,解得t=;③若点P为直角顶点,如答图3③所示.过点E作EM⊥BC于点M,过点F作FN⊥BC于点N,则EM=FN=DH=2t,EM∥FN∥AD.∵EM∥AD,∴,即,解得BM=t,∴PM=BP﹣BM=3t﹣t=t.在Rt△EMP中,由勾股定理得:PE2=EM2+PM2=(2t)2+

5、(t)2=t2.∵FN∥AD,∴,即,解得CN=t,∴PN=BC﹣BP﹣CN=10﹣3t﹣t=10﹣t.在Rt△FNP中,由勾股定理得:PF2=FN2+PN2=(2t)2+(10﹣t)2=t2﹣85t+100.在Rt△PEF中,由勾股定理得:EF2=PE2+PF2,即:(10﹣t)2=(t2)+(t2﹣85t+100)化简得:t2﹣35t=0,解得:t=或t=0(舍去)∴t=.综上所述,当t=秒或t=秒时,△PEF为直角三角形.点评:本题是运动型综合题,涉及动点与动线两种运动类型.第(1)问考查

6、了菱形的定义;第(2)问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值;第(3)问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点,重点考查了分类讨论的数学思想.2.(2014年四川资阳,第23题11分)如图,已知直线l1∥l2,线段AB在直线l1上,BC垂直于l1交l2于点C,且AB=BC,P是线段BC上异于两端点的一点,过点P的直线分别交l2、l1于点D、E(点A、E位于点B的两侧),满足BP=BE,连接AP、CE.(1)求证:△ABP≌△CBE;(2)连结AD、BD,BD与AP相交于点F.如图2.①

7、当=2时,求证:AP⊥BD;②当=n(n>1)时,设△PAD的面积为S1,△PCE的面积为S2,求的值.考点:相似形综合题.分析:(1)求出∠ABP=∠CBE,根据SAS推出即可;(2)①延长AP交CE于点H,求出AP⊥CE,证出△CPD∽△BPE,推出DP=PE,求出平行四边形BDCE,推出CE∥BD即可;②分别用S表示出△PAD和△PCE的面积,代入求出即可.解答:(1)证明:∵BC⊥直线l1,∴∠ABP=∠CBE,在△ABP和△CBE中∴△ABP≌△CBE(SAS);(2)①证明:延长AP

8、交CE于点H,∵△ABP≌△CBE,∴∠PAB=∠ECB,∴∠PAB+∠AEE=∠ECB+∠AEH=90°,∴AP⊥CE,∵=2,即P为BC的中点,直线l1∥直线l2,∴△CPD∽△BPE,∴==,∴DP=PE,∴四边形BDCE是平行四边形,∴CE∥BD,∵AP⊥CE,∴AP⊥BD;②解:∵=N∴BC=n•BP,∴CP=(n﹣1)•BP,∵CD∥BE,∴△CPD∽△BPE,∴==n﹣1,即S2=(n﹣1)S,∵S△PAB=S△BCE=n•S,∴△PAE=(n+1)•S,∵==n﹣1,∴S1=(n

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