空间中点、线、面、体的又一统一形式-论文.pdf

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1、2014年第8期·课外拓展·浯数仆学空间中点、线、面、体的又一统一形式江苏响水县第二中学徐国军在日常的立体几何教学中，教者常给学生提出这样一这时，只剩下一个长方体本身，所占有限空间区域没有个问题：将长方体的各个面延展出去，可将空间分成几个涉及到，如此算下来，共可形成8+12+6+1=27个空间区域。部分?这个问题对学生来说所要求的思维水平还是很高对于三棱锥来说，将各个面延展，在顶点、棱、面处分的，学生往往一下子答不上来。这时教者经常举这样的一别形成如图4、5、6所示的无限空间区域。个例子帮助学生理解与

2、思考：即将一块豆腐横、竖各切两刀，再拦腰切两刀，正中间的豆腐刚好是一个长方体，其余部分可看作被这个长方体各个面延展出去把豆腐切成的图4图5图6不同块，所以这样的豆腐有多少块，问题的答案就是多少。因为三棱锥有4个顶点，6条棱，4个面，所以这些延豆腐被切成三层，每层有九块，一共27块。教者用实际生展的面将空间区域分成4+6+4+1=15个部分，可见这一规活中的实例，解决了立体几何中思考起来较为复杂的一个律同样适用于三棱锥。问题。体现了数学来源于生活、数学与生活的统一。以上规律是否适用于任一几何体，显然不是

3、。因为对用上述实例解决问题，确实起到了关键性的作用，若于这一个凹多面体，某些面延展后，可将本身切开，这样不把问题稍作改变，即将长方体改为三棱锥，我想这个问题禁要思考一个问题，哪些几何体具有这一规律呢?不能再用切豆腐的生活实例来解决。有心的教者可发现这如果将一个凸多面体的各面延展，它们的交线除了多一事实，在上述问题中，长方体的顶点数是8，棱数是12，面体的棱所在直线而外，不再有其他交线，这样的多面体面数是6，其本身表示体数是1，这些数字之和也是27，这才具有上述规律。为了下面叙述的方便，我们把这样的多是

4、巧合，还是一个暂时没有被我们发现的规律呢?如果这面体暂且叫做无线体，则此规律可叙述为：如果延展一个是一个客观规律的话，我们又作怎样的解释和说明呢?无线体的各个面一共将空间分成K个部分，那么K等于对长方体而言，将各个面延展出去时，在顶点处形成这个多面体顶点数(v)、棱数(E)、面数(F)、体数(1)之和，一个类似于墙角的空间部分，与实际墙角不同的是，形成即K=V+E+F+I。我们学过的三棱锥、三棱柱、平行六面体墙角的三个面可无限延伸，是一个无限的空间区域(如图都适用这个规律。1)，因为长方体有8个顶点，

5、这样可形成8个上述区域。在此结论描述的规律将空间点、线、面、体有机结合起棱处形成类似于直二面角内部的一个无限区域(如图2)，来，除了欧拉公式E=V+F一2，它是空间几何元素的又一统共有12个这样的区域。在长方体的面处形成类似于一个一形式。方形木料一端固定，另一端无限延伸的无限空间区域(如最后我们将这一规律进行降维类比可得：如果一个平图3)，这样可形成6个上述区域。面多边形各边延长后，除了多边形的顶点，不再有其它交点(实质上只有三角形、平行边四边形等少数几种图形)，这样的多边形各边延长后，将平面分成K个

6、部分，那么K=多边形的边数+多边形的顶点数+1。图1图2图3(栏目责任编辑：章若昆)74