微观金融学及其数学基础08.pdf

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1、第8章概率论基础7基础微积分7线性代数8概率论9随机微积分10鞅11偏微分方程11数值方法本章的学习目标Ø理解概率的古典定义和测度定义及其基础性质；Ø理解随机变量的测度定义以及它的分布函数和密度函数；Ø了解随机变量的收敛方式和重要的收敛定理；Ø掌握数学期望的测度定义和性质；Ø理解条件概率和数学期望的测度定义；Ø掌握条件数学期望的重要性质，明确独立性的涵义；Ø掌握随机变量的重要数值特征，如方差、协方差、矩母函数和特征函数；Ø了解线性概率空间的概念和它同一般线性空间的联系；Ø熟练掌握几种重要分布的定义、数值特征以及它们在构造金融模型中的应用；Ø了解大数定理和中心极限定理。（微观）金融理

2、论研究涉及的核心问题有两个，一个是不确定性，另一个是时间或者说动态过程。而概率理论正是构造不确定环境下金融模型的基本工具，而且它还是第九章随机过程理论的基础，因此它在金融分析和金融分析工具中的重要性是不言而喻的。我们这样安排本章内容：首先简要地回顾初等概率论中概率和随机变量的定义，然后用严格的测度语言重新表述一次；接下来考察在随机分析中非常重要的数学期望和条件数①学期望的概念和相关性质；然后进一步考察随机变量的主要数值特征。借助这些数值特征，②我们描述几个在研究金融资产价格运动时必须牢固把握的概率分布；最后则是对极限定理①对于有经验的读者，建议在学习完以上内容后，直接进入与之紧密联

3、系的第十章——鞅。②按照国家现有的教学体系，大多数理工科的读者对于密度函数、条件期望等初等概率论中的内容相当熟悉，但是考虑到后续微观金融学及其数学基础的一个简要探讨。8.1概率公理和随机变量8.1.1初等情形最早对于概率行为的研究兴趣可能来源于赌博游戏。例如，早期的研究者很认真地探讨在抛硬币猜正反的赌博中，连续开20次“花”的机会有多少？这里的概率一词可以做多种理解：1．首先，它可以被解释为基于某种实际测量的相对频率（frequency）。例如，掷一枚质地均匀的硬币，出现某一面朝上的频率最终会稳定下来。用N表示试验总次数，用n表示某种情形发生的次数，则概率就可以定义为：nP=（8-

4、1）N显然，这个相对频率只有趋于稳定，该种概率定义才有意义。历史上有一些著名的例子可以作为这种解释的脚注，如表8-1所示的系列掷硬币试验。表8-1作为频率意义上的概率实验者掷币总次数出现正面次数频率蒲丰4,0402,0480.5068皮尔逊12,0006,0180.5016皮尔逊24,00012,0120.5005尽管这种定义相当直观，并且在工程中广泛应用，但是怎样才算是所谓“大量”或者“稳定”呢？这类词汇是无法严格定义的，因此这种概率定义不符合严密的数学表述规范。2．古典（classical）定义。概率的古典定义可以视为给定前提下的一个先验的推理体系。我们知道，在掷硬币的试验中：

5、（1）出现的结果将不止一个，但是所有可能发生的结果在事前都是可知的（非字即花，只有两种可能）；课程是随机过程，则这些准备还远远不够。如何自然地向读者阐述滤波、鞅、测度变换这些重要的概念和方法，是我们面临的挑战。众所周知，现代概率论以测度论（measuretheory）为基础，但是完全掌握测度理论也并非必要。因此在复习（学习）概率论时采用什么样的方法，我们仍然有一些疑问。如果从测度论着手研究，尽管会对以后深入学习随机过程的一般理论有明显的好处，但对于初学者来说，则显得负担太重；而从基本的初等概率开始，又会妨碍我们透彻地理解概率和随机过程理论中的一些深层次问题。因而只能进行一些必要的折

6、衷作为一种尝试，希望能在这个过程中和读者一起找到最适当的方法。·392·第8章概率论基础（2）在掷下去前，不知道哪一种结果会发生；（3）可以重复地掷。有着类似特征的行为，被称为随机试验（stochasticexperiment）。只要再加上一点，即每种结果发生的可能性都相等，它就构造出所谓“古典”的概率模型。古典概型可以明确地计算随机试验中获得某些结果的概率。例如，掷一枚质地均匀的骰子，掷出奇数点的概率是1/6+1/6+1/6=1/2。但是古典概型的前提是很严格的，它要求试验结果发生的等概率性，这就限制了它的应用范围。3．公理化定义。这需要先引入一些基本概念。上述随机试验的每一个结

7、果（outcome），称为样本点（samplepoint），记为w；所有样本点的总和被称为样本空间O（samplespace）；称包含若干样本点的集合为事件（event），每一个样本点又可以称为基本事件（basicevent）。称空间O为必然事件（sureevent），称不包含任何样本点的空集Æ为不可能事件（impossibleevent）。定义8.1.1概率就是对于任一个事件A指定的一个数P(A)，它满足：（1）P(A)≥0，即非负性；①（2）åP(A)=1，即规范