基于MATLAB求解非齐次线性方程组.pdf

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1、第25卷第10期赤峰学院学报(自然科学版)V01．25No．102009年10月JournalofChifengUniversity(NaturalScienceEdition)Oct．2009基于MATLAB求解非齐次线性方程组陈永胜，刘洋萍(1．吉林师范大学数学学院；2．吉林师范大学博达学院数学系，吉林四平136000)摘要：解非齐次线性方程组是线性代数的重要内容，非齐次线性方程组的解可能出现三种情形：无解、有唯一解和无穷多组解．通过例题讨论了如何利用MATLAB求解非齐次线性方程组的过程并且给出相应的程序．关键词：非齐次线性方程组

2、；MATLAB；系数矩阵；增广矩阵；方程组的解中图分类号：013；TF392文献标识码：A文章编号：1673—260X(2009)10—0001—02线性方程组是线性代数的基础内容之一，设有非齐次可以绘出各式各样的二维、三维图形．MATLAB可以进行编线性方程组程运算，对一些复杂问题的计算或复杂图形的绘制，可以编alIxl+al'x2+⋯十alrI]【n=bl程实现．a1Ixa”x’+⋯b：下面针对非齐次线性方程组的解的三种情形，通过例可以用矩阵乘法表示成Ax：b，题给出MATLAB求解的方法及过程．amlxl+at+⋯am~=b1若r

3、ank(A)≠rank(C)。则非齐次线性方程组无解【i23=1例1求解非齐次线性方程组{2x。+3x2+x3=3．Ix。一x一2x，=oA=解我们首先用下面的语句来看看系数矩阵的秩与增[三兰兰)象为方程组的系数矩阵，b=广矩阵的秩是否相等，A=【121；231；1—1—2]；％系数矩阵b=【1；3；0】；％常数列向量fhb：i]称为方程组的常数列向量，c=fAb]；％增广矩阵rank(A)％系数矩阵的秩rank(C)％增广矩阵的秩计算表明，系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩为3，显然不相等，说明原方程组无解．2若mnk(A)=rank(C

4、)=n．则非齐次线性方程组有唯一解[三至兰至卜为方程组的增广矩阵．x2-3x3+4】【4一5Xl-2X3+3x4=-4例2求解非齐次线性方程组3xl+2x2-5x4=l24xl+3X2-5X3=5解变量的个数为4，我们首先来看看系数矩阵的秩与增广矩阵的秩是否相等．A=[01-34；10—23；320-5；43-50】；b：卜5；-4；12；51；C=[Ab]；rank(A)，rank(C)计算表明，系数矩阵的秩和增广矩阵的秩都为4，说明原方程组有唯一解．下面对方程组进行求解．2．1直接使用求逆矩阵inv函数求解．x=AbA=[01-34

5、；10-23；320-5；43-50】；b=卜5；--4；12；5]；x=inv(A)b运行结果为：基金项目：国家自然科学基金资助(10071084)；~林省教育厅科技项目基金资助(2007152)x=1．0000A：【21-1I；42-21；21-1—1】；b=【1；2；1]；C=【A2．Ooo0b】；rref(C)1．0oo0运行结果为：—1．0o0Oarts=2．2直接使用左除运算符＼求解．x：A＼b1．00000．5O00—0．5ooOO0．5000A=【01-34；10-23；320-5；43-5O]；b=[一5；0001．0

6、O0o0一4；I2；5．1；x=Akb000002．3应用Cramer法则，使用det函数求解．从而通解为xl=一丢一x’+}x1，0，其中x、x，为自由A=【O1—34；10—23；320-5；43-50】；b=[_5；变量．一4；12；5]；3．2直接使用null命令求非齐次线性方程组所对应的齐次xl=det([bA(：，2)A(：，3)A(：，4)])Idet(A)线性方程组的一个基础解系．由于非齐次线性方程组的通解x2=det([A(：，1)bA(：，3)A(：，4)】)／aet(A)等于齐次线性方程组的通解加上非齐次线性方程组

7、的一个x3=del([A(：，1)A(：，2)bA(：，4)])／det(A)特解．x4=det([A(：，1)A(：，2)A(：，3)b])／det(A)2．4使用soh'e函数求解符号方程．A=[21—11；42—21；21—1—1]；b=【1；2；1]；symsxlx2x3x4x0=Akb％求非齐次线性方程组的一个特解xl=null(A)％求齐次线性方程组的一个通解[x1x2x3x4]=solve(x2—3水x3+4车x4=一5’，’xl一运行结果为：2x3+3x4=-4‘，’3xl+2x2-5x4=12’，4xl+3x2—5x3

8、=5’，xo=0．5000。x1，。x2，’x3’，’x4’)02．5使用数值分析中的矩阵分解法(LU、QR)02．5．1(LU分解)若n阶矩阵A可逆且顺序主子式不为零，0．0D010则A可以分解为一个单位