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1、函数的单调性知识讲解一、函数单调性的定义1.定义如果函数对区间内的任意，当时都有，则称在内是增函数；当时都有，则在内时减函数．2.等价形式设，那么在是增函数；在是减函数；在是减函数．3.应用即若在区间上递增（递减）且（）；若在区间上递递减且．（）．1.比较函数值的大小．2.可用来解不等式．3.求函数的值域或最值等二、单调性判别1.判断前注意讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；2.用于判断的方法定义法：用定义法证明函数单调性的一般步骤：①取值：
2、即设，是该区间内的任意两个值，且②作差变形：通过因式分解、配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．③定号：确定差（或）的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论．④下结论：即根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间．子区间法：如果在区间上是增（减）函数，那么在的任一非空子区间上也是增（减）函数；图象法：复合性质法：复合函数的单调性结论：“同增异减”；运算性质法：在公共定义域内增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数．特殊函数：函数在上单调递增；在上是单调
3、递减．经典例题一．解答题（共16小题）1．（2013秋•临淄区校级月考）画出函数y=x2﹣
4、x
5、的图象并指出其单调区间．【解答】解：由已知可得y=
6、x
7、2﹣
8、x
9、，该图象可由y=x2﹣x的图象保留y轴右边的部分，并作关于y轴的对称可得．由图象可得函数在（﹣∞，-12）单调递减，（-12，0）单调递增，（0，12）单调递减，（12，+∞）单调递增． 2．（2015秋•长宁区校级期末）已知函数y=1
10、2x
11、-1，求：（1）函数的定义域，奇偶性并作出大致图象；（2）写出函数的单调区间．【解答】解：（1）由
12、2x
13、﹣1≠
14、0，可得x≠±12，∴函数的定义域为{x
15、x≠±12}；f（﹣x）=1
16、-2x
17、-1=1
18、2x
19、-1，∴函数是偶函数；图象如图所示；（2）函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣12），（﹣12，0）；单调递减区间为（0，12），（12，+∞）． 3．（2013•利通区校级一模）已知函数f（x）=x
20、x﹣2
21、．（Ⅰ）写出f（x）的单调区间；（Ⅱ）解不等式f（x）＜3；（Ⅲ）设0＜a≤2，求f（x）在[0，a]上的最大值．【解答】解：（1）函数f（x）=x
22、x﹣2
23、=&x2-2x=(x-1)2-1x≥2&-x2+2x=-(x
24、-1)2+1x＜2∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，1]和[2，+∞）；单调减区间是[1，2]．（2）不等式f（x）＜3，即x
25、x﹣2
26、＜3，∴&x≥2&x2-2x-3＜0，或&x＜2&x2-2x+3＞0，∴2≤x＜3或x＜2，∴不等式f（x）＜3的解集为{x
27、x＜3}．（3）当0＜a≤1时，f（x）是[0，a]上的增函数，此时f（x）在[0，a]上的最大值是f（a）=a（2﹣a）．当1＜a≤2时，f（x）在[0，1]上是增函数，在[1，a]上是减函数，此时，f（x）在[0，a]上的上的最大值是f（1）=1．综上，
28、当0＜a≤1时，此时f（x）在[0，a]上的上的最大值是f（a）=a（2﹣a）．当1＜a≤2时，f（x）在[0，a]上的上的最大值是1． 4．（2016秋•延川县校级月考）已知函数f（x）=
29、x2﹣4x+3
30、．（1）求函数f（x）的单调区间，并指出其增减性；（2）求集合M={m
31、m使方程f（x）=mx有四个不相等的实根}．【解答】解：（1）f（x）=
32、（x﹣2）2﹣1
33、，函数图象如图，∴f（x）的单调递增区间是（1，2），（3，+∞），单调递减区间是（﹣∞，1），（2，3）；（2）由图象，考虑y=mx与抛物线相切
34、时，m=4﹣23，∵y=mx与图象有四个交点，∴0＜m＜4﹣23，即使方程f（x）=mx有四个不相等的实根时，0＜m＜4﹣23，∴M={m
35、0＜m＜4﹣23}． 5．（2017•禹王台区校级学业考试）证明函数f(x)=x+1x在[1，+∞）上是增函数．【解答】证明：任取x1，x2∈[1，+∞）且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=x1+1x1﹣（x2+1x2）=（x1﹣x2）x1x2-1x1x2…（5分）∵x1﹣x2＜0，x1x2﹣1＞0，x1x2＞0∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．∴f
36、（x）在[1，+∞）上单调递增；…（10分） 6．（2017秋•浦东新区期末）判断并证明函数f（x）=1x2-1在区间（﹣1，0）上的单调性．【解答】解：根据题意，函数f（x）=1x2-1在区间（﹣1，0）上单调递增，证明如下：设﹣1＜x1＜x2＜0，则f（x1）﹣f（x2）=1x12-1﹣1x22-1=(x2-x1)(x2+x1)(x12-1)(x22-1)，又由﹣1＜
