三角函数的概念及性质.doc

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1、一、球与正方体的切与接       命题1  棱长为a的正方体的内切球、棱切球、外接球的半径依次为r1，r2，r3，则r1=a     r2=a     r3=a       正方体的内切球、棱切球是与正方体的六个面、十二条棱都相切的球，外接球是过正方体的八个顶点的球，它们是同一个正方体的球心相同的球。如图1所示，过正方体的对角面可作含各球基本量的截面图，不难发现，三类球的直径依次增大，分别是正方体的棱长，面对角线长，体对角线长，从而得r1=a，r2=a，r3=a。       题1 （2006年，福建）已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于（   ）         

2、     题2 （2007年，湖南）棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E、F分别是棱AA1、DD1的中点，则直线EF被球截得的线段长为（    ）                解析：根据命题1，球O的半径为，如图2所示，作过E、F、O的球的截面图，直线EF分别交圆O于M、N两点，过O作OH⊥EF于点H，则OH=，H是MN的中点，连结OM，由勾股定理易得MH=，故MN=2MH=，故选D。       二、球与正四面体的切与接       命题2  棱长为a的正四面体的内切球、棱切球、外接球的半径依次为r1、r2、r3，则r1=a     r2

3、=a     r3=a       正四面体的内切球、棱切球是指与正四面体的四个面、六条棱都相切的球，外接球是指过正四面体的四个顶点的球。同一个正四面体的三类球的球心相同。如图3所示，过正四面体的任一条棱AB及对棱的中点E作一截面，可得包含各球基本量的截面图，不难得出r1=a，r2=a，r3=a。              另：如果把正四面体补成一个正方体，如图4所示，那么正四面体的棱切球也是正方体的内切球，正四面体的外接球也是正方体的外接球。       题3 （2006年，山东）在等腰梯形ABCD中，AB=2CD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分

4、别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，如图5所示，则三棱锥P-DEC的外接球的体积为（  ）              解析：根据题意，三棱锥P-DEC是棱长为1的正四面体，则外接球半径为，故V=，选C。       题4 （2007年，安徽）半径为1的球面上的四点A、B、C、D是正四面体的顶点，则A、B两点的球面距离为（   ）。       A、arcos(-)  B、arcos(-)  C、arcos(-) D、arcos(-)       解析：根据命题2，正四面体的棱长为，设球心为O，则在△AOB中由余弦定理cos∠AOB=-，即∠AOB=arcos(-)，所以

5、，A、B的球面距离为arcos(-)，选C。       三、球与直角四面体的切与接       命题3  共点的互相垂直的三条棱长分别为a、b、c的直角四面体的外接球半径r1=，内切球半径r2==，其中V为体积，S为表面积。       同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体叫直角四面体，如图6所示，四面体S-ABC中，SA⊥SB⊥SC，则称为直角四面体。将其补成一个长方体，则其外接球就是长方体的外接球，对角线长即为球的直径。将内切球的球心与各顶点相连，可将直角四面体分割成四个以内切球半径为高的小棱锥，由锥体的体积公式，即得内切球半径r2=。              题5 （

6、2008年，福建）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是           。       解析：由题意，三棱锥的三个侧面两两垂直，则三条侧棱两两垂直，为直角四面体，由命题3，外接球半径为= =，故S球=9，故填9。       题6 （2005年，辽宁）已知三棱锥P-ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，△ABC、△PEF都是正三角形，PF⊥AB，如图7所示。       （1）证明：PC⊥面PAB；       （2）求二面角P-AB-C的平面角的余弦值；       （3）若点P、A、B、C在一个表面积为12的球面上，求△ABC的边长。    

7、                  解析：由条件知AF=BF=PF，故∠APB=90°，同理∠APC也是直角，又PF⊥AB，故△APB与△APC均为等腰直角三角形，由△ABC是正三角形知△PBC也是与它们全等的等腰直角三角形，故三棱锥P-ABC为直角四面体，且PA=PB=PC，认识了它的图形后，答案明显：（1）证明略。（2）二面角的平面角的余弦值为。（3）中，其外接球半径=PA=，故PA=2，从而△ABC的边长AB=2。       四、球与双垂四面体的切与接              另：