高中数学《导数的实际应用》同步练习4 新人教B版选修2-2.doc

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1、导数的实际应用第1题.2007海南、宁夏文)设函数（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）求在区间的最大值和最小值．答案：解：的定义域为．（Ⅰ）．当时，；当时，；当时，．从而，分别在区间，单调增加，在区间单调减少．（Ⅱ）由（Ⅰ）知在区间的最小值为．又．所以在区间的最大值为．第2题.（2002海南、宁夏理）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｄ第3题.（2007海南、宁夏理）设函数．（I）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；（II）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．答案：解：（Ⅰ），32用心爱心专心依题意有，故．从而．的

2、定义域为．当时，；当时，；当时，．从而，分别在区间单调增加，在区间单调减少．（Ⅱ）的定义域为，．方程的判别式．（ⅰ）若，即，在的定义域内，故无极值．（ⅱ）若，则或．若，，．当时，，当时，，所以无极值．若，，，也无极值．（ⅲ）若，即或，则有两个不同的实根，．当时，，从而在的定义域内没有零点，故无极值．32用心爱心专心当时，，，在的定义域内有两个不同的零点，由极值判别方法知在取得极值．综上，存在极值时，的取值范围为．的极值之和为．第4题.（2007湖南理）函数在区间上的最小值是．答案：第5题.(2007湖南文)已知函数在区间，内各有一个极值点．（I）求的最大值；（I

3、I）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式．答案：解：（I）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，设两实根为（），则，且．于是，，且当，即，时等号成立．故的最大值是16．（II）解法一：由知在点处的切线的方程是，即，因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，则不是的极值点．32用心爱心专心而，且．若，则和都是的极值点．所以，即．又由，得．故．解法二：同解法一得．因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号．于是存在（）．当时，，当时，

4、；或当时，，当时，．设，则当时，，当时，；或当时，，当时，．由知是的一个极值点，则．所以．又由，得，故第6题.(2007江苏)已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，，则_____．答案：第7题.(2007江西理)设在内单调递增，，则是的（　　）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件答案：B32用心爱心专心第8题.（全国卷I理）设函数．（Ⅰ）证明：的导数；（Ⅱ）若对所有都有，求的取值范围答案：解：（Ⅰ）的导数．由于，故．（当且仅当时，等号成立）．（Ⅱ）令，则，（ⅰ）若，当时，，故在上为增函数，所以，时，，即．（ⅱ）若，方程的

5、正根为，此时，若，则，故在该区间为减函数．所以，时，，即，与题设相矛盾．综上，满足条件的的取值范围是．第9题.(2007全国I文)曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：A第10题.(2007全国I文)设函数在及时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．答案：（Ⅰ），32用心爱心专心因为函数在及取得极值，则有，．即解得，．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，．当时，；当时，；当时，．所以，当时，取得极大值，又，．则当时，的最大值为．因为对于任意的，有恒成立，所以　，解得　或，因此的取值范围为．第11题.(20

6、07全国II理)已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．答案：解：（1）求函数的导数：．曲线在点处的切线方程为：，即．（2）如果有一条切线过点，则存在，使．32用心爱心专心于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根．记，则．当变化时，变化情况如下表：000极大值极小值由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根．综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则即．第12题.(2007陕西理)设函数，其中

7、为实数．（I）若的定义域为，求的取值范围；（II）当的定义域为时，求的单调减区间．答案：解：（Ⅰ）的定义域为，恒成立，，，即当时的定义域为．32用心爱心专心（Ⅱ），令，得．由，得或，又，时，由得；当时，；当时，由得，即当时，的单调减区间为；当时，的单调减区间为．第13题.(2007浙江理)设，对任意实数，记．（I）求函数的单调区间；（II）求证：（ⅰ）当时，对任意正实数成立；（ⅱ）有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．答案：（I）解：．由，得．因为当时，，当时，，当时，，故所求函数的单调递增区间是，，单调递减区间是．（II）证明：（i）方法一：令，则，32用

8、心爱心专心当时，由，得．