立体几何基础题题库351-400.doc

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1、立体几何基础题题库351-400（有详细答案）351.（1）已知直线a∥平面a，a⊥平面b．求证：b⊥a．　　　（2）已知三个平面a、b、g，a∥b，a⊥g．求证：b⊥g．解析：（1）如图答9-41，∵　a∥a，∴　在a上任取一点，过a与A确定平面g，设，则．∵　a⊥b，∴　．∵　a，∴　a⊥b．　　　（2）在g上任取P，设，在g内作，∵　a⊥g，∴　PQ⊥a．∵　a∥b，∴　PQ⊥b，∵　PQg，∴　b⊥g．352.在正方体中，求二面角的大小．解析：如图9-43，在平面内作，交于E．连结，设正方体棱长为a，在△和△中，，，，∴　△≌△，∵　，∴　，

2、∴　为二面角的平面角．在Rt△中，，∴　，∴　,在△中，，，，，353.如图9-50，点A在锐二面角a-MN-b的棱MN上，在面a内引射线AP，使AP与MN所成的∠PAM为45°，与面b所成的角为30°，求二面角a-MN-b的大小．解析：如图答9-44，取AP上一点B，作BH⊥b于H，连结AH，则∠BAH为射线AP与平面b所成的角，∴　∠BAH=30°，再作BQ⊥MN，交MN于Q，连结HQ，则HQ为BQ在平面b内的射影．由三垂线定理的逆定理，HQ⊥MN，∴　∠BQH为二面角a-MN-b的平面角．图答9-44　　设BQ=a，在Rt△BAQ中，∠BQA=

3、90°，∠BAM=45°，∴　，在Rt△BAH中∠BHA=90°，∠BAH=30°，∴　．在Rt△BHQ中，∠BHQ=90°，BQ=a，，，∵　∠BQH是锐角，∴　∠BQH=45即二面角a-MN-b等于45°．354.已知直线l⊥平面α，直线m平面β，有下面四个命题：(1)α∥βl⊥m(2)α⊥βl∥m(3)l∥mα⊥β(4)l⊥mα∥β其中正确的两个命题是()A.(1)与(2)B.(3)与(4)C.(2)与(4)D.(1)与(3)分析：本题主要考查直线与平面、平面和平面的位置关系，以及空间想象能力和逻辑推理能力.解法一：在l⊥α，mβ的前提下，当α

4、∥β时，有l⊥β，从而l⊥β，从而l⊥m，得(1)正确；当α⊥β时，l垂直于α、β的交线，而m不一定与该交线垂直，因此，l与m不一定平行，故(2)不正确.故应排除A、C.依题意，有两个命题正确，不可能(3)，(4)都正确，否则连同(1)共有3个命题正确.故排除B，得D.解法二：当断定(1)正确之后，根据4个选择项的安排，可转而检查(3)，由l∥m,l∥α知m⊥α，从而由mα得α⊥β.即(3)正确.故选D.解法三：不从(1)检查起，而从(2)、(3)、(4)中任一命题检查起，如首先检查(4)；由l⊥α,m⊥β不能否定m是α、β的交线，因此α∥β不一定成

5、立，故(4)是不正确的，因此可排除B、C.依据A和D的内容可知(1)必定是正确的，否则A和D也都排除，以下只要对(2)或(3)检查，只须检查一个便可以做出判断.355.一张正方形的纸ABCD，BD是对角线，过AB、CD的中点E、F的线段交BD于O，以EF为棱，将正方形的纸折成直二面角，则∠BOD等于()A.120°B.150°C.135°D.90°解析：本题考查线面垂直，面面垂直，余弦定理，以及空间与平面问题的转化能力。如图，设正方形边长为a，由O为正方形中心，则BO＝a,DO＝a，连AB，因为DA⊥AE，DA⊥BE，故DA⊥面AEB，所以DA⊥AB

6、，故ΔDAB为直角三角形，BD＝＝＝=a.又在ΔBOD中，由余弦定理可得cos∠BOD＝＝＝-，所以∠BOD＝120°评析：本题为折叠问题，此类问题应该分清折叠前后的哪些量发生了变化，此外，还要注意找出空间转化为平面的途径，几何计算的准确性等。356.已知平面α∥平面β，B，D∈β，AB⊥CD，且AB＝2，直线AB与平面α所成的角为30°，则线段CD的长为取值范围是()A.［1，+∞］B.(1，)C.(，)D.［，+∞)解析：本题考查直线与直线所成的角，直线与平面所成的角的概念。线面垂直的判定和性质，以及空间想象能力和几何计算.解如图所示，过D作DA

7、′∥AB交平面α于A′.由α∥β，故DA′＝AB＝2，DA′与α成30°角，由已知DC⊥AB，可得DC⊥DA′，所以DC在过DC且与DA′垂直的平面γ内，令∩α＝l，在内，DC⊥l时为最短，此时DC＝DA′·tan30°＝.故CD≥.∴应选D.357.如图，四棱锥P—ABCD的底面是直角梯形，AB∥DC，AB⊥BC，且AB＝CD，侧棱PB⊥底面ABCD，PC＝5，BC＝3，ΔPAB的面积等于6，若平面DPA与平面CPB所成的二面角为α，求α.解析：平面DPA与平面CPB有一公共点P，要画出它们构成的二面角的平面角必须确定它们公共交线，DA和CB的延长

8、线的交点E是它们的另一公共点.由公理二，PE就是二面角的公共棱.有了公共棱，二面角的平面角就生了根.解延长D