流体力学教材.docx

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1、第4章流体动力学基本定理及其应用第2章我们研究了静止流体中的压力分布及流体对物体的作用力，但没有涉及运动问题；第3章我们从几何的观点研究了流体的运动，但没有讨论运动发生的原因。本章将应用力学基本定律建立流体运动的动力学方程，从而揭示流体的运动和力之间的关系。4.1输运公式在介绍运输公式之前先说明系统和控制体的概念。4.1.1系统和控制体1.系统由确定的流体质点组成的流体团或有限的流体体积称为系统。系统和外界的分界面称为系统的边界面。系统具有如下特征：b5E2RGbCAP<1）系统是运动流体质点的集合，系统的体积和边界面的形状可以随

2、时间变化；<2）系统边界上没有质量的输入和输出，系统内的质量不变，但有动量和能量的变化；<3）系统边界面上有力的相互作用。系统内物理量的总和对时间的变化率称为系统导数，用表示。例如，系统总质量为，则它的系统导数为<4.1.1）由于系统的体积V(t>随时间而变，故微分号不能直接移到积分号的内部。2.控制体被流体流过的，相对于选定的坐标系固定不变的空间体积称为控制体。控制体的边界面称为控制面。控制体具有如下特征：p1EanqFDPw<1）控制体的几何外形和体积相对于选定的坐标系是固定不变的；<2）控制面上可以有流体的流入、流出，有质量

3、、动量和能量的交换；<3）控制面上有力的相互作用。控制体内某物理量的总和对时间的变化率称为控制体的局部导数，用表示。例如，控制体内的总质量为，则它的局部导数为DXDiTa9E3d<4.1.2）由于控制体的体积V与时间无关，故微分号可直接移到积分号的内部。24/244.1.2输运公式我们知道，经典力学定律是建立在固定对象上的，因此流体力学中这些定律应建立在系统上。但是，由于流体的流动性，系统的体积和边界面形状不断变化，不利于实际应用。为此，需要将建立在系统上的定律方程转换到具有固定体积的控制体上，这就是下面要介绍的输运公式。RTCr

4、pUDGiT定理任一瞬时系统内物理量随时间的变化率等于该瞬时同形状、同体积控制体内物理量的变化率与通过控制面的输运量之和5PCzVD7HxA<4.1.3）图4.1.1通过控制体的流动图4.1.1V(t>S(t>这就是系统导数的Euler表达式，通常称它为输运公式。等号右端第二项积分为物理量通过控制面的输运量。可以是标量也可以是矢量。当时表示单位时间内通过的质量；当时表示单位时间内通过的动量。jLBHrnAILg证明如图4.1.1所示，t时刻体积为V(t>的系统经历Dt时间后运动到新的位置，系统边界面S(t>变为S，体积变为V(t+

5、Dt>=V(t>+DV(t>，其中DV(t>为体积变化量。根据系统导数定义有xHAQX74J0X<4.1.4）将上式右端第一项的积分域分解为V(t>和DV(t>两部分，然后与第二项积分相加得<4.1.5）上式等号右端第二项DV(t>是Dt时间内系统体积的变化，也就是和24/24时刻系统边界面变化引起的体积变化。若设t时刻边界面<即流体质点）的运动速度为v，则经过Dt时间面积上的微元面积ds运动引起的体积变化为LDAYtRyKfE(4.1.6>其中为微元面积的法向量。当时，；当时，。将上式代入<4.1.5）式就把体积分转化成了面积分

6、，然后求极限，即证得输运公式<4.1.3）。Zzz6ZB2Ltk需要指出，系统和控制体分别是Lagrange和Euler表示法的概念，输运公式正是将Lagrange型的系统导数表示成Euler型，在表达形式上与质点导数相类似。dvzfvkwMI1下面首先在系统上建立动力学平衡方程，给出流体力学的Euler运动微分方程，揭示流体运动速度和压力之间的变化规律，然后利用输运公式，给出控制体上的动力学平衡方程,即流体力学的动量方程。rqyn14ZNXI4.1欧拉运动微分方程图4.2.1VSn欧拉

7、于理想流体运动的方程，它是理想流体运动的基本微分方程。EmxvxOtOco1.Euler运动微分方程如图4.2.1所示，在理想流体中任取一系统，其体积为，边界面积为S，为S的单位外法向量。该系统受到的质量力和压力合力分别为SixE2yXPq5根据牛顿第年二定律，作用于系统上的外力等于系统的质量与加速度之积<4.2.1）利用Gauss公式，将上式中关于压力的面积分转化为体积分=，则<4.2.1）式为由于体积V具有任意性，上式成立的充要条件是被积函数恒等于零，即<4.2.2a）或<4.2.2b）这就是理想流体的运动微分方程，称为Eul

8、er运动微分方程。24/24Euler运动微分方程<4.2.2b）中的每一项都表示单位质量的某种力，从左向右依次为单位质量的局部惯性力<非定常流动引起的）、迁移惯性力<非均匀场引起的）、质量力和压力合力。Euler运动微分方程表示这些力的平衡。6e