流体力学教材 4

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1、第4章流体动力学基本定理及其应用第2章我们研究了静止流体中的压力分布及流体对物体的作用力，但没有涉及运动问题；第3章我们从几何的观点研究了流体的运动，但没有讨论运动发生的原因。本章将应用力学基本定律建立流体运动的动力学方程，从而揭示流体的运动和力之间的关系。4.1输运公式在介绍运输公式之前先说明系统和控制体的概念。4.1.1系统和控制体1.系统由确定的流体质点组成的流体团或有限的流体体积称为系统。系统和外界的分界面称为系统的边界面。系统具有如下特征：（1）系统是运动流体质点的集合，系统的体积和边界面的形状可以随时间变化；

2、（2）系统边界上没有质量的输入和输出，系统内的质量不变，但有动量和能量的变化；（3）系统边界面上有力的相互作用。系统内物理量的总和对时间的变化率称为系统导数，用表示。例如，系统总质量为，则它的系统导数为（4.1.1）由于系统的体积V(t)随时间而变，故微分号不能直接移到积分号的内部。2.控制体被流体流过的，相对于选定的坐标系固定不变的空间体积称为控制体。控制体的边界面称为控制面。控制体具有如下特征：（1）控制体的几何外形和体积相对于选定的坐标系是固定不变的；（2）控制面上可以有流体的流入、流出，有质量、动量和能量的交换；

3、（3）控制面上有力的相互作用。控制体内某物理量的总和对时间的变化率称为控制体的局部导数，用表示。例如，控制体内的总质量为，则它的局部导数为（4.1.2）由于控制体的体积V与时间无关，故微分号可直接移到积分号的内部。4.1.2输运公式我们知道，经典力学定律是建立在固定对象上的，因此流体力学中这些定律应建立在系统上。但是，由于流体的流动性，系统的体积和边界面形状不断变化，不利于实际应用。为此，需要将建立在系统上的定律方程转换到具有固定体积的控制体上，这就是下面要介绍的输运公式。定理任一瞬时系统内物理量随时间的变化率等于该瞬时

4、同形状、同体积控制体内物理量的变化率与通过控制面的输运量之和（4.1.3）图4.1.1通过控制体的流动图4.1.1V(t)S(t)这就是系统导数的Euler表达式，通常称它为输运公式。等号右端第二项积分为物理量通过控制面的输运量。可以是标量也可以是矢量。当时表示单位时间内通过的质量；当时表示单位时间内通过的动量。证明如图4.1.1所示，t时刻体积为V(t)的系统经历Dt时间后运动到新的位置，系统边界面S(t)变为S，体积变为V(t+Dt)=V(t)+DV(t)，其中DV(t)为体积变化量。根据系统导数定义有（4.1.4）

5、将上式右端第一项的积分域分解为V(t)和DV(t)两部分，然后与第二项积分相加得（4.1.5）上式等号右端第二项DV(t)是Dt时间内系统体积的变化，也就是和时刻系统边界面变化引起的体积变化。若设t时刻边界面（即流体质点）的运动速度为v，则经过Dt时间面积上的微元面积ds运动引起的体积变化为(4.1.6)其中为微元面积的法向量。当时，；当时，。将上式代入（4.1.5）式就把体积分转化成了面积分，然后求极限，即证得输运公式（4.1.3）。需要指出，系统和控制体分别是Lagrange和Euler表示法的概念，输运公式正是将L

6、agrange型的系统导数表示成Euler型，在表达形式上与质点导数相类似。下面首先在系统上建立动力学平衡方程，给出流体力学的Euler运动微分方程，揭示流体运动速度和压力之间的变化规律，然后利用输运公式，给出控制体上的动力学平衡方程,即流体力学的动量方程。4.1欧拉运动微分方程图4.2.1VSn欧拉（Euler）运动微分方程是牛顿第二定律应用于理想流体运动的方程，它是理想流体运动的基本微分方程。1.Euler运动微分方程如图4.2.1所示，在理想流体中任取一系统，其体积为，边界面积为S，为S的单位外法向量。该系统受到的

7、质量力和压力合力分别为根据牛顿第年二定律，作用于系统上的外力等于系统的质量与加速度之积（4.2.1）利用Gauss公式，将上式中关于压力的面积分转化为体积分=，则（4.2.1）式为由于体积V具有任意性，上式成立的充要条件是被积函数恒等于零，即　（4.2.2a）或（4.2.2b）这就是理想流体的运动微分方程，称为Euler运动微分方程。Euler运动微分方程（4.2.2b）中的每一项都表示单位质量的某种力，从左向右依次为单位质量的局部惯性力（非定常流动引起的）、迁移惯性力（非均匀场引起的）、质量力和压力合力。Euler运动

8、微分方程表示这些力的平衡。特别地，若流体静止，即=0，则（4.2.2a）式简化为静力学基本微分方程式（2.1.6）（4.2.3）可见，静力学基本微分方程是Euler运动微分方程在静止流体中的特例。2.Euler运动微分方程的另一种表示形式Euler方程（4.2.2）中的迁移惯性力项是非线性的，为了研究问题方便，可改写