勾股定理证明方法及论文.doc

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1、勾股定理论文初一（5）班庞博睿一、勾股定理的概述勾股定理是数学中极其重要的一个定理，是几何学中的明珠，充满了魅力，它揭示了直角三角形中三条边之间的关系，而且应用十分广泛。勾股定理是我国最早证明的几何定理之一，也是每年中考必考的重要知识点之一。古今中外有不少数学家、物理学家，甚至有画家、政治家等都在寻求它的证明方法.传说古希腊的毕达哥拉斯在找到一种证明方法后，欣喜若狂，便杀了100头牛来祭神，表示庆祝，所以勾股定理也被称为“百牛定理”.。勾股定理是几何证明方法最多的一个定理，现在已经找到400多种证明方法，其中我们聪明睿智的祖先找

2、到的就有200多种。因此，勾股定理被说成是中国几何学的根源.中华数学的精髓，诸如开方术、方程术、天元术等技艺的诞生与发展，寻根探源都与勾股定理有密切的关系。我国伟大的数学家华罗庚将勾股定理称为茫茫宇宙星际交流的“语言”，因为数学是一切有智慧生物的共同语言，所以我们有更多的理由要学好它。学习勾股定理时，应抓住三大关键：一是勾股定理及其逆定理的证明方法；二是勾股定理及其逆定理的应用；三是怎样寻找勾股数。对于第二个问题，又应抓住四个方面：一是勾股定理在几何计算中的应用；二是勾股定理在几何证明中的应用；三是勾股定理及其逆定理的综合应用；

3、四是勾股定理在代数证题中的应用。勾股定理是我国最早证明的几何定理之一，是中华数学的精髓。几千年以来，有无数古今中外的学者对它进行了证明.其中包括汉代的赵爽、魏晋时期的刘徽、美国总统伽菲尔德、著名画家达•芬奇……在初中数学中常常提到的数学思想方法有：数形结合思想、分类讨论思想、转化思想、方程思想、整体思想.在勾股定理的应用中，渗透了上述四种数学思想！中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。二﹑勾股定理的证明方法【证法1】  

4、       做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形。从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b，所以面积相等,即，整理得【证法2】以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于。把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上。∵RtΔHAE≌RtΔEBF,∴∠AHE=∠BEF∵∠AEH+∠AHE=90º∴∠AEH+∠BEF

5、=90º∴∠HEF=180º―90º=90º∴四边形EFGH是一个边长为c的正方形.它的面积等于c2∵RtΔGDH≌RtΔHAE∴∠HGD=∠EHA∵∠HGD+∠GHD=90º∴∠EHA+∠GHD=90º又∵∠GHE=90º∴∠DHA=90º+90º=180º∴ABCD是一个边长为a+b的正方形，它的面积等于∴∴【证法3】以a、b为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于.把这四个直角三角形拼成如图所示形状。∵RtΔDAH≌RtΔABE,∴∠HDA=∠EAB∵∠HAD+∠HAD=90º∴∠E

6、AB+∠HAD=90º∴ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2∵EF=FG=GH=HE=b―a∠HEF=90º∴EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于∴∴【证法4】以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上。∵RtΔEAD≌RtΔCBE,∴∠ADE=∠BEC∵∠AED+∠ADE=90º∴∠AED+∠BEC=90º∴∠DEC=180º―90º=90º∴ΔDEC是一个等腰直角三角形,它的面积等于又∵∠DAE=90

7、º,∠EBC=90º∴AD∥B∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于∴∴【证法5】做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c。把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上。过C作AC的延长线交DF于点P。∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,∴∠EGF=∠BED∵∠EGF+∠GEF=90°∴∠BED+∠GEF=90°∴∠BEG=180º―90º=90º又∵AB=BE=EG=GA=c∴ABEG是一个边长为c的正方形.∴∠ABC+∠CBE=90º∵RtΔABC≌RtΔEBD∴∠

8、ABC=∠EBD∴∠EBD+∠CBE=90º即﹕∠CBD=90º又∵∠BDE=90º，∠BCP=90ºBC=BD=a∴BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则﹕∴ 【证法6】做两个全等的直角三角形，设