数学立体几何基础题型.doc

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1、立体几何基础题题库551-600（有详细答案）551.已知：正三棱柱ABC—A′B′C′中，AB′⊥BC′，BC＝2，求：线段AB′在侧面上的射影长.解析：如图，取BC的中点D.∵AD⊥BC，侧面⊥底面ABC，∴AD⊥侧面是斜线AB′在侧面的射影.又∵AB′⊥BC′，∴⊥BC′.设BB′＝x，在RtΔ中，BE∶BD＝，＝.∵E是ΔBB′C的重心.∴BE＝BC′＝∴x＝·，解得：x＝.∴线段AB′在侧面的射影长为.552.ΔABC在平面α内的射影是ΔA′B′C′，它们的面积分别是S、S′，若ΔAB

2、C所在平面与平面α所成二面角的大小为θ(0＜θ＜90°＝，则S′＝S·cosθ.证法一如图(1)，当BC在平面α内，过A′作A′D⊥BC，垂足为D.∵AA′⊥平面α，AD在平面α内的射影A′D垂直BC.∴AD⊥BC.∴∠ADA′＝θ.又S′＝A′D·BC，S＝AD·BC，cosθ＝,∴S′＝S·cosθ.证法二如图(2)，当B、C两点均不在平面α内或只有一点(如C)在平面α内，可运用(1)的结论证明S′＝S·cosθ.553.求证：端点分别在两条异面直线a和b上的动线段AB的中点共面.证明如图，

3、设异面直线a、b的公垂线段是PQ，PQ的中点是M，过M作平面α，使PQ⊥平面α，且和AB交于R，连结AQ，交平面α于N.连结MN、NR.∵PQ⊥平面α，MNα，∴PQ⊥MN.在平面APQ内，PQ⊥a,PQ⊥MN,∴MN∥a,a∥α，又∵PM＝MQ，∴AN＝NQ，同理可证NR∥b,RA＝RB.即动线段的中点在经过中垂线段中点且和中垂线垂直的平面内.554.如图，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，AA1＝，M是CC1的中点，求证：AB1⊥A1M.解析：

4、不难看出B1C1⊥平面AA1C1C，AC1是AB1在平面AA1C1C上的射影.欲证A1M⊥AB1，只要能证A1M⊥AC1就可以了.证：连AC1，在直角ΔABC中，BC＝1，∠BAC＝30°，∴AC＝A1C1＝.设∠AC1A1＝α，∠MA1C1＝β∴tanα＝＝＝,tgβ＝＝＝.∵cot(α+β)＝＝＝0,∴α+β＝90°即AC1⊥A1M.∵B1C1⊥C1A1，CC1⊥B1C1，∴B1C1⊥平面AA1CC1，AC1是AB1在平面AA1C1C上的射影.∵AC1⊥A1M，∴由三垂线定理得A1M⊥AB1

5、.评注：本题在证AC1⊥A1M时，主要是利用三角函数，证α+β＝90°，与常见的其他题目不太相同.555.矩形ABCD，AB＝2，AD＝3，沿BD把ΔBCD折起，使C点在平面ABD上的射影恰好落在AD上.(1)求证：CD⊥AB；(2)求CD与平面ABD所成角的余弦值.(1)证明如图所示，∵CM⊥面ABD，AD⊥AB，∴CD⊥AB(2)解：∵CM⊥面ABD∴∠CDM为CD与平面ABD所成的角，cos∠CDM＝作CN⊥BD于N，连接MN，则MN⊥BD.在折叠前的矩形ABCD图上可得DM∶CD＝CD∶

6、CA＝AB∶AD＝2∶3.∴CD与平面ABD所成角的余弦值为556.空间四边形PABC中，PA、PB、PC两两相互垂直，∠PBA＝45°，∠PBC＝60°，M为AB的中点.(1)求BC与平面PAB所成的角；(2)求证：AB⊥平面PMC.解析：此题数据特殊，先考虑数据关系及计算、发现解题思路.解∵PA⊥AB，∴∠APB＝90°在RtΔAPB中，∵∠ABP＝45°，设PA＝a，则PB＝a,AB＝a,∵PB⊥PC，在RtΔPBC中，∵∠PBC＝60°,PB＝a.∴BC＝2a,PC＝a.∵AP⊥PC∴在

7、RtΔAPC中，AC＝＝＝2a(1)∵PC⊥PA,PC⊥PB,∴PC⊥平面PAB，∴BC在平面PBC上的射影是BP.∠CBP是CB与平面PAB所成的角∵∠PBC＝60°，∴BC与平面PBA的角为60°.(2)由上知，PA＝PB＝a,AC＝BC＝2a.∴M为AB的中点，则AB⊥PM，AB⊥CM.∴AB⊥平面PCM.说明要清楚线面的垂直关系，线面角的定义，通过数据特点，发现解题捷径.557.在空间四边形ABCP中，PA⊥PC，PB⊥BC，AC⊥BC.PA、PB与平面ABC所成角分别为30°和45°。

8、(1)直线PC与AB能否垂直?证明你的结论；(2)若点P到平面ABC的距离为h，求点P到直线AB的距离.解析：主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系的综合应用及线面角，点面间距离等概念应用，空间想象力及推理能力.解(1)AB与PC不能垂直，证明如下：假设PC⊥AB，作PH⊥平面ABC于H，则HC是PC在平面ABC的射影，∴HC⊥AB，∵PA、PB在平面ABC的射影分别为HB、HA，PB⊥BC，PA⊥PC.∴BH⊥BC，AH⊥AC∵AC⊥BC，∴平行四边形ACBH为矩形.∵HC⊥AB，∴ACBH