数学建模实验报告.pdf

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1、实验名称：插值与数据拟合（实验一）指导教师：实验时数：4实验设备：安装了VC++、mathematica、matlab的计算机实验日期：2014年4月29日实验地点：第五教学楼北802实验目的：掌握插值与拟合的原理，熟悉插值与拟合的软件实现。实验准备：1.在开始本实验之前，请回顾教科书的相关内容；2.需要一台准备安装WindowsXPProfessional操作系统和装有VC++6.0的计算机。实验内容及要求下表给出了某工厂产品的生产批量与单位成本（元）的数据。从散点图可以明显地发现，生产批量在500以内时，单位成本对生产批量服

2、从一种线性关系，生产批量超过500时服从另一种线性关系，此时单位成本明显下降。生产批量650340400800300600单位成本2.484.454.521.384.652.96生产批量720480440540750单位成本2.184.044.203.101.50要求：1、构造合适的模型全面地描述生产批量与单位成本的关系；2、对于这种关系，试采用分段函数进行详细分析。另外，从误差的角度出发，定量与定性相结合的方式来说明采用分段函数来描述这种关系的优点。实验过程：问题分析本题的目的是构建合适的模型描述生产批量与单位成本的关系。利用

3、MTALAB软件作出生产批量与单位成本的散点图，我们可以发现，生产批量在500以内时，单位成本对生产批量服从一种线性关系，生产批量超过500时服从另一种线性关系，此时单位成本明显下降，根据数据拟合建立适当的模型。针对问题一，首先作出散点图，通过观察散点图的大致走势，利用与之相逼近的函数图像进行拟合，并利用MATLAB软件求出拟合函数，并作必要的模型检验。针对问题二，类比问题一需作两次数据拟合，建立两个线性回归方程，通过MTALAB求解，从而得到分段函数,通过画出残差图，求出可决系数、统计量、方差等，可进行拟合误差的判断。通过比较

4、分段和问题一构建的函数与原函数的比较，分段函数和问题一构造求解的函数的可决系数、统计量、方差的比较进行定量分析；通过函数图像与散点图的拟合相似度，进行定性分析；通过二者的结合分析，可得用分段函数对该数据进行拟合拟合得更好，从而得出分段函数描述这种关系更具优势这一结论。为了验证模型的正确性可通过残差的正态检验、残差的异方差检验和残差的相关性检验，也称D-W检验，对建立的模型进行较为准确的验证。模型假设[1]假设所给数据符合实际生产规则，所给的数据真实可靠。[2]假设单位成本只受生产批量的影响。[3]设生产批量为x，设单位成本为y。

5、问题一模型的建立与求解基本模型针对问题一，为了大致的分析y与x的关系，首先利用上表所给的数据作y与x的散点图（见下图1）。生产批量与单位成本的散点图5生产批量与单位成本的散点图54.54.5443.53.533单位成本单位成本2.52.5221.51.511300350400450500550600650700750800300350400450500550600650700750800生产批量生产批量图1y对x的散点图图2拟合图像从图1可以看出，随着生产批量x的增加，y的值呈线性增长的趋势。散点的分比较接近一次函数图形，因而选

6、取线性模型y=kx+b11（1）进行数据拟合，其拟合图像如图2所示。综合上述分析，建立一元线性回归模型，设回归模型为y=b+bx+e010（2）bb其中x为回归变量（自变量），0、1为回归系数。模型求解调用regress函数求解，模型的可信度可用可决系数的大小表2示，因此就算出可决系数r即可。regress函数的使用格式为[b，bint，r，rint，stats]=regress（y，x，alpha）b=(,bb)其中，输入量y为模型（2）中y的数据，x为回归系数01的数据矩阵[1,x],b其中第一列为全1向量，alpha为置信

7、水平，输出变量b为的估计值，bint为y-xbb的置信区间，r为残差向量的，rint为r的置信区间，stats为回归模型的检验统计量。22可决系数r，F为统计量值，p为统计量对应的概率值，s为剩余方差。利用MATLAB求解得回归系数的估计值及其置信区间、检验统计量的结果见下表1。表1模型（2）的计算结果参数参数估计值参数置信区间7.0779[6.4845，7.6713]b0-0.0070[-0.0081,-0.0060]b122r=0.9631F=234.8936p=0.0000<0.05s=0.06122由表1的数据显示，可决

8、变量r=0.9631，说明因变量y的96.31%的数bb据可由模型确定，参数的估计值为0=7.0779，1=-0.0070，F=234.8936，2p=0.0000<0.05，s=0.0612，故回归模型y=7.0779-0.007x，成立。从残差图可以看出，数