小学奥数--几何--五大模型--鸟头模型(共角定理).pdf

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1、2011年秋季五年级第三讲三角形中的模型(一)周艳丽三角形中的模型（一）知识点与例题详解共角定理（鸟头模型）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在△ABC中，DE,分别是ABAC,上的点如图(或D、E分别在BA、CA延长线上则S△ADEADAEAD×AE(小×小)=×=夹角两边：SABACAB×AC大×大△ABC即，共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比证明：（1）共角为相等角连接BE，由同高看

2、底，可知S△ADEADS△ABEAES△AD'EAD×AE=⋯(1)=⋯(2)将(1)×(2)得:=SABSACSAB×AC△ABE△ABC△ABC（2）共角为对顶角在AB、AC上分别取点D’E’连接D’E’，则S=S△ADE△AD'E'SAD×AE连接BE，同(1)理可证△AD'E=SAB×AC△ABC（3）共角为互补角在AB上取一点D’连接D’E，则S=S△ADE△AD'ESAD×AE连接BE，同(1),可证△AD'E=SAB×AC△ABC例：1已知三角形ADE的面积是1，AD:AB=2:3，AE:AC=

3、1:4，求三角形AED的面积2已知三角形ABC的面积是9，AD:AB=1:2，AE:EC=1:1，求三角形AED的面积S△ADEADAE211分析：(1)由鸟头定理：=×=×=,S=1×6=6△ABCSABAC346△ABCS△ADEADAE1111(2)由鸟头定理：=×=×=S=9×=2.25△ADESABAC2244△ABC第1页共8页2011年秋季五年级第三讲三角形中的模型(一)周艳丽例1分析：共角定理（鸟头）：共角三角形的面积比等于对应角两夹边的乘积之比SAD×AE2×48△ADE===SAB×AC5

4、×735△ABC2∴S=16÷8×35=70cm△ABC例2分析：共角定理（鸟头）：共角三角形的面积比等于对应角两夹边的乘积之比S△ABCAB×BC2×24===SBE×BD5×315△ADE2∴S=3÷4×15=12.5cm△BDE例3分析：∵BAC+HAG=180°SAB×AC1×11△ABC===∴SAH×AG1×11△AHG2S=S=10cm△ABC△AHG2同理可得S=S=S=10cm△ABC△ECF△IBD即另外三个三角形的面积和是30cm²例42分析：∵AE=EF,∴S=S=5cm△ADE△DE

5、F∵△DAE与△ABC共角∠A∴S△DAEAD×AE1×112===∴S=5×6=30cm△ABCSAB×AC2×36△ABC第2页共8页2011年秋季五年级第三讲三角形中的模型(一)周艳丽例5分析：∵BAC+FAD=180°∴S△ABCAB×AC1×11166===∴S=×=△ADFSAD×AF2×36△FDA∵BCA+FCE=180°SAC×BC1×11∴△ABC===∴S=1×8=8△ECFSCF×CE4×28△FCE∵ABC+DBE=180°SAB×BC1×11∴△ABC===∴S=1×3=3△DBE

6、SDB×BE1×33△DBE∴S=1+6+8+3=18△DEF例6分析：由共角定理知:∵DAB+FAE=180°∴S△ABD=AD×AB=1×1=1∴S=8S△HAE△ABDSAH×AE4×28△HAE∵ABC+EBF=180°∴S△ABCAB×BC1×11∴S=3S===△FAD△ABCSBE×BF1×33△FBE∵BCD+GCF=180°∴S△BCDBC×DC1×11∴S=8S===△HAE△BCDSCF×GC2×48△GCF∵ADC+HDG=180°∴S△ADCAD×DC1×11∴S=8S===△HAE

7、△ADCSDH×DG5×315△HDG1∵S=S=S=S=S=S△ABD△ABC△BCD△ABD△ADC△ABCD2S2S△ABCD△ABC∴==1:18S(8+3+8+15+2)S△EFGH△ABC超常挑战分析：图中每相邻两个正方形和其间夹着的两个三角形都是“X型”鸟头。以右图为例，S△ABCAB×AC1×11===∴S=S△ABC△AHGSAH×AG1×11△AHG因此，图中每一个红色三角形和对应的绿色三角形面积都相等。那么内圈三角形石板的总面积和外圈三角形石板的总面积一样大。越玩越聪明分析：这道题可以分

8、析、计算如下：在计算各个面上4个数的和时，顶点上的数总是分属3个不同的面，这样，每个顶点上的数都被重复计算了3次。因此，各个面上4个数的和为1～8这8个数的和的3倍，即（1+2+3+…+8）×3=108。又因为正方体有6个面，也就是每个面上的四个数的和应是108÷6=18.18应是我们填数的标准。如果在前面上填入1、7、2、8（如图），那么右侧面上已有2、8，其余两顶点只能填3、5。以此类推，答案如