《数学奥林匹克专题讲座》第03讲 奇偶.doc

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1、第3讲奇偶分析  我们知道,全体自然数按被2除的余数不同可以划分为奇数与偶数两大类。被2除余1的属于一类,被2整除的属于另一类。前一类中的数叫做奇数,后一类中的数叫做偶数。关于奇偶数有一些特殊性质,比如,奇数≠偶数,奇数个奇数之和是奇数等。灵活、巧妙、有意识地利用这些性质,加上正确的分析推理,可以解决许多复杂而有趣的问题。用奇偶数性质解题的方法称为奇偶分析,善于运用奇偶分析,往往有意想不到的效果。  例1下表中有15个数,选出5个数,使它们的和等于30,你能做到吗?为什么?  分析与解:如果一个一个去找、去试、去算,那就

2、太费事了。因为无论你选择哪5个数,它们的和总不等于30,而且你还不敢马上断言这是做不到的。最简单的方法是利用奇偶数的性质来解,因为奇数个奇数之和仍是奇数,表中15个数全是奇数,所以要想从中找出5个使它们的和为偶数,是不可能的。  例2小华买了一本共有96张练习纸的练习本,并依次将它的各面编号(即由第1面一直编到第192面)。小丽从该练习本中撕下其中25张纸,并将写在它们上面的50个编号相加。试问,小丽所加得的和数能否为2000?  解:不能。  由于每一张上的两数之和都为奇数,而25个奇数之和为奇数,故不可能为2000。

3、  说明:“相邻两个自然数的和一定是奇数”,这条性质几乎是显然的,但在解题过程中,能有意识地运用它却不容易做到,这要靠同学们多练习、多总结。  例3有98个孩子,每人胸前有一个号码,号码从1到98各不相同。试问:能否将这些孩子排成若干排,使每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和?并说明理由。  解:不能。  如果可以按要求排成,每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和,那么每一排中各号码数之和都是某一个孩子号码数的2倍,是个偶数。所以这98个号码数的总和是个偶数,但是这98个数的总和为  1

4、+2+…+98=99×49,是个奇数,矛盾!所以不能按要求排成。  例4如右图,把图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。问:有无可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数?请说明理由。  解:不可能。  如果每条直线上的红圈数都是奇数,而五角星有五条边,奇数个奇数之和为奇数,那么五条线上的红圈共有奇数个(包括重复的)。从另一个角度看,由于每个圆圈是两条直线的交点,则每个圆圈都要计算两次,因此,每个红圈也都算了两次,总个数应为偶数,得出矛盾。所以,不可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数。  说明:上述两题都是从两个不同的角度去分析处

5、理同一个量,而引出矛盾的。  例5有20个1升的容器,分别盛有1,2,3,…,20厘米3水。允许由容器A向容器B倒进与B容器内相同的水(在A中的水不少于B中水的条件下)。问:在若干次倒水以后能否使其中11个容器中各有11厘米3的水?  解:不可能。  在倒水以后,含奇数立方厘米水的容器数是不会增加的。事实上以(偶,偶)(偶,奇)(奇,奇)来表示两个分别盛有偶数及偶数,偶数及奇数,奇数及奇数立方厘米水的容器。于是在题中条件限制下,在倒水后,(偶,偶)仍为(偶,偶);而(偶,奇)会成为(偶,奇)或(奇,偶);(奇,奇)却成为

6、(偶,偶)。在任何情况下,盛奇数立方厘米水的容器没有多出来。  因为开始时有10个容器里盛有奇数立方厘米的水,所以不会出现有11个盛有奇数立方厘米水的容器。  例6一个俱乐部里的成员只有两种人:一种是老实人,永远说真话;一种是骗子,永远说假话。某天俱乐部的全体成员围坐成一圈,每个老实人两旁都是骗子,每个骗子两旁都是老实人。外来一位记者问俱乐部的成员张三:“俱乐部里共有多少成员?”张三答:“共有45人。”另一个成员李四说:“张三是老实人。”请判断李四是老实人还是骗子?  分析与解:根据俱乐部的全体成员围坐一圈,每个老实人两

7、旁都是骗子,每个骗子两旁都是老实人的条件,可知俱乐部中的老实人与骗子的人数相等,也就是说俱乐部的全体成员总和是偶数。而张三说共有45人是奇数,这说明张三是骗子,而李四说张三是老实人,说了假话,所以李四也是骗子。  说明:解答此题的关键在于根据题设条件导出老实人与骗子的人数相等,这里实质上利用了对应的思想。  类似的问题是:  围棋盘上有19×19个交叉点,现在放满了黑子与白子,且黑子与白子相间地放,并使黑子(或白子)的上、下、左、右的交叉点上放着白子(或黑子)。问:能否把黑子全移到原来的白子的位置上,而白子也全移到原来黑

8、子的位置上?  提示:仿例6。答:不能。  例7某市五年级99名同学参加数学竞赛,竞赛题共30道,评分标准是基础分15分,答对一道加5分,不答记1分,答错一道倒扣1分。问:所有参赛同学得分总和是奇数还是偶数?  解:对每个参赛同学来说,每题都答对共可得165分,是奇数。如答错一题,就要从165分中减去6分,不管错几道

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