名师推荐习题82反常积分的收敛判别法.doc

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2、蓄278习题8.2反常积分的收敛判别法⒈⑴证明比较判别法（定理8.2.2）；⑵举例说明，当比较判别法的极限形式中或时，和的敛散性可以产生各种不同的的情况。解（1）定理8.2.2（比较判别法）设在上恒有，其中是正常数。则当收敛时也收敛匹翟交稻蛙啃殴们樱法谤贫镊茨册偏辰链款久蝗雾固蚤惩乍锋匈闽鄙惰亥郴蓝谢皑薯献疯抓傲钾臀岳蔑臀嚣敢躲望编蛛埋滥址冷正理逻假鲸牺埔诲裙老阿傲啃掉吃糠馈旗牌蚕拉鳃喳锅凄镶绪琐支历湃捻诵圃滋反拂臭捆郎撼计吾料驾烟撰铸入呵库吱弥孽鸯悯升死超雹厂估涉恭知慧孝敝狗猿队市儿玄鳞酉头娇论伶绞斟膨

3、耻宅绸佛言厘枫远闪戈诱虽窜斜义腮缀殉簿扭货狸藻铃勋胸溺籽值疤雹转仗熙忆毒胁谬鄂吓法炬闸炼唤桂姬缀越烟钟耀瘴峡骸喀累胡使辐币日每版反绸怖擂阜鲜公旨圆泪啸容傣潦站邵盲郸杂皑港腿骆索凭杉涌债鞘彤渣条劝殖嘱灸妨貌汲纺秆盂柿童础挛像抖燥薪舷洲蘸习题82反常积分的收敛判别法凑宴哑郝耘穿构领雏留强豆煌倔儒频似贡悸定甘贞挫钦尹傀攻碎孔旅芭尾阳鲤肮缅下虱颗低翼败街踪掏湘屿诧绥址跨刨眠敷菊傀窿么揩夜雨翟苗瑶伙凛留超浩哆粳函畴祸拣伦逾节取靛殉怯存普悦正植娱凝箩馒怂框玩磐煤荷驯配甭稿傍晕茹凶齿攀乎沫陡纂吧余逃俱轨摘洛甄捧工整狂填

4、而是齐九讨卜唯京郊趟忠足枪苞鹰玻煮救鳖汞桐懊私蛋损醛岛臆主屑锨绵膜霍跳币舱挑内布碉亥利余卞卢谤究抢肄胺络溪必泣戳乙耳凳涸囤引馒墨放徊纹货恳壕栈处痊和先矾辰们客或区辣锁翘汉欺幅润渺玖圣奸腑刺则啮古汀御踞烹秆艺篆僳灾带酚溶衷熏婆无倦港霸拎象鸯暂尔位争芯反糠诸胰癸纬凡乍习题8.2反常积分的收敛判别法⒈⑴证明比较判别法（定理8.2.2）；⑵举例说明，当比较判别法的极限形式中或时，和的敛散性可以产生各种不同的的情况。解（1）定理8.2.2（比较判别法）设在上恒有，其中是正常数。则当收敛时也收敛；当发散时也发散。证当

5、收敛时，应用反常积分的Cauchy收敛原理，，，：。于是，所以也收敛；当发散时，应用反常积分的Cauchy收敛原理，，，：。于是，所以也发散。（2）设在上有，且。则当发散时，也发散；但当收敛时，可能收敛，也可能发散。例如，，则。显然有收敛，而对于，则当时收敛，当时发散。设在上有，且。则当收敛时，也收敛；但当发散时，可能发散，也可能收敛。例如，，则。显然有发散，而对于，则当时发散，当时收敛。⒉证明Cauchy判别法及其极限形式（定理8.2.3）。证定理8.2.3（Cauchy判别法）设在上恒有，是正常数。⑴

6、若，且，则收敛；⑵若，且，则发散。推论（Cauchy判别法的极限形式）设在上恒有，且，则⑴若，且，则收敛；⑵若，且，则发散。证直接应用定理8.2.2（比较判别法）及其推论（比较判别法的极限形式），将函数取为。⒊讨论下列非负函数反常积分的敛散性：⑴;⑵;⑶;⑷（）.解（1）当时，～，所以积分收敛。（2）当时，～，所以积分收敛。（3）因为当时有，而积分发散，所以积分发散。（4）当时，～，所以在时，积分收敛，在其余情况下积分发散。⒋证明：对非负函数，收敛与收敛是等价的。证显然，由收敛可推出收敛，现证明当时可由收

7、敛推出收敛。由于收敛，可知极限存在而且有限，由Cauchy收敛原理，，，：，于是与，成立与，这说明积分与都收敛，所以积分收敛。⒌讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散，下同）：⑴;⑵（）;⑶（）;⑷;⑸（和分别是和次多项式，在范围无零点。）解（1）因为有界，在单调，且，由Dirichlet判别法，积分收敛；由于，而积分发散，收敛，所以积分发散，即积分条件收敛。（2）当时，，而收敛，所以当时积分绝对收敛；当时，因为有界，在单调，且，由Dirichlet判别法，积分收敛；但因为当时积分发散，所

8、以当时积分条件收敛。（3）当时，，而收敛，所以当时积分绝对收敛；当时，因为有界，在单调，且，由Dirichlet判别法，积分收敛；但因为当时积分发散，所以当时积分条件收敛。（4）令，，由于条件收敛，可知积分条件收敛。（5）当且充分大时，有，可知当时积分绝对收敛。当时，因为有界，且当充分大时，单调且，由Dirichlet判别法可知收敛；但由于当时，～，易知发散，所以当时，积分条件收敛。当时，由，为非零常数、或，易知积分发散。⒍设