习题反常积分的收敛判别法

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1、习题8.2反常积分的收敛判别法⒈⑴证明比较判别法（定理8.2.2）；⑵举例说明，当比较判别法的极限形式中或时，和的敛散性可以产生各种不同的的情况.解（1）定理8.2.2（比较判别法）设在上恒有，其中是正常数.则当收敛时也收敛；当发散时也发散.证当收敛时，应用反常积分的Cauchy收敛原理，，，：.于是，所以也收敛；当发散时，应用反常积分的Cauchy收敛原理，，，：.于是，所以也发散.（2）设在上有，且.则当发散时，也发散；但当收敛时，可能收敛，也可能发散.例如，，则.显然有收敛，而对于，则当时收敛，当时发散.295/18设在上有，且.则当收敛时，也收敛；但当发散时，可能发散，也

2、可能收敛.例如，，则.显然有发散，而对于，则当时发散，当时收敛.⒉证明Cauchy判别法及其极限形式（定理8.2.3）.证定理8.2.3（Cauchy判别法）设在上恒有，是正常数.⑴若，且，则收敛；⑵若，且，则发散.推论（Cauchy判别法的极限形式）设在上恒有，且，则⑴若，且，则收敛；⑵若，且，则发散.证直接应用定理8.2.2（比较判别法）及其推论（比较判别法的极限形式），将函数取为.⒊讨论下列非负函数反常积分的敛散性：⑴;⑵;⑶;⑷（）.解（1）当时，～，295/18所以积分收敛.（2）当时，～，所以积分收敛.（3）因为当时有，而积分发散，所以积分发散.（4）当时，～，所以在

3、时，积分收敛，在其余情况下积分发散.⒋证明：对非负函数，收敛与收敛是等价的.证显然，由收敛可推出收敛，现证明当时可由收敛推出收敛.由于收敛，可知极限存在而且有限，由Cauchy收敛原理，，，：，于是与，成立与，这说明积分与都收敛，所以积分收敛.⒌讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散，下同）：295/18⑴;⑵（）;⑶（）;⑷;⑸（和分别是和次多项式，在范围无零点.）解（1）因为有界，在单调，且，由Dirichlet判别法，积分收敛；由于，而积分发散，收敛，所以积分发散，即积分条件收敛.（2）当时，，而收敛，所以当时积分绝对收敛；当时，因为有界，在单调，且，由Di

4、richlet判别法，积分收敛；但因为当时积分发散，所以当时积分条件收敛.（3）当时，，而收敛，所以当时积分绝对收敛；当时，因为有界，在单调，且295/18，由Dirichlet判别法，积分收敛；但因为当时积分发散，所以当时积分条件收敛.（4）令，，由于条件收敛，可知积分条件收敛.（5）当且充分大时，有，可知当时积分绝对收敛.当时，因为有界，且当充分大时，单调且，由Dirichlet判别法可知收敛；但由于当时，～，易知发散，所以当时，积分条件收敛.当时，由，为非零常数、或，易知积分发散.⒍设在只有一个奇点，证明定理8.2.和定理8.2..定理8.2.（Cauchy判别法）设在上恒

5、有，若当属于的某个左邻域时，存在正常数，使得295/18⑴，且，则收敛；⑵，且，则发散.证（1）当时，积分收敛，由反常积分的Cauchy收敛原理，，，：.由于，所以收敛.（2）当时，积分发散，由反常积分的Cauchy收敛原理，，，：.由于，所以发散.推论（Cauchy判别法的极限形式）设在上恒有，且，则⑴若，且，则收敛；⑵若，且，则发散.证（1）由（），可知，：，再应用定理8.2.的（1）.（2）由（），可知，：，295/18再应用定理8.2.的（2）.定理8.2.若下列两个条件之一满足，则收敛：⑴（Abel判别法）收敛，在上单调有界；⑵（Dirichlet判别法）在上有界，在上

6、单调且.证（1）设，因为收敛，由Cauchy收敛原理，，，：.由积分第二中值定理，.（2）设，于是，有.因为，，，，有.由积分第二中值定理，.所以无论哪个判别法条件满足，由Cauchy收敛原理，都有收敛的结论.⒎讨论下列非负函数反常积分的敛散性：⑴;⑵;⑶;⑷;⑸;⑹;⑺.解（1）因为～，～295/18，所以积分收敛.（2）因为，且对任意，，即当充分小时，有，所以积分收敛.（3）因为～，～，所以积分发散.（4）因为～，所以当时积分收敛，当时积分发散.（5）首先对任意的与任意的，有，即当充分小时，有；且～.所以当时，积分收敛，当时，积分发散.（6）～，～，所以在时积分收敛，在其余情

7、况下积分发散.（7）～，且，即当充分小时，有，所以当时积分收敛，在其余情况下积分发散.295/18⒏讨论下列反常积分的敛散性：⑴();⑵;⑶;⑷;⑸;⑹;⑺;⑻.解（1）.当，时积分与积分显然收敛，且当时，～，即不是反常积分，所以积分收敛.（2）.因为～，～，所以积分收敛；因为295/18～，～，所以积分收敛；因为～，～，所以积分收敛.由此可知积分收敛.（3）.由～，可知当时，积分收敛，当时，积分发散；当时，，即当充分大时，有，其中，可知当时，积分收敛，当时，积分发散；综上所述，