因式分解之十字相乘法专项练习题.pdf

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1、十字相乘法进行因式分解【基础知识精讲】(1)理解二次三项式的意义;(2)理解十字相乘法的根据;(3)能用十字相乘法分解二次三项式;(4)重点是掌握十字相乘法,难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法.【重点难点解析】1.二次三项式22多项式axbxc,称为字母x的二次三项式,其中ax称为二次项,bx为一次22项,c为常数项.例如,x2x3和x5x6都是关于x的二次三项式.22在多项式x6xy8y中,如果把y看作常数,就是关于x的二次三项式;如果把x看作常数,就是关于y的二次三项

2、式.222在多项式2ab7ab3中,把ab看作一个整体,即2(ab)7(ab)3,就是2关于ab的二次三项式.同样,多项式(xy)7(xy)12,把x+y看作一个整体,就是关于x+y的二次三项式.十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法.2.十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式,实质上是逆用(ax+b)(cx+d)竖式乘法法则.它的一般规律是:2(1)对于二次项系数为1的二次三项式xpxq,如果能把常数项q分解成两个因数a,b的积,并且a+b为一次项系数p,那么

3、它就可以运用公式2x(ab)xab(xa)(xb)分解因式.这种方法的特征是“拆常数项,凑一次项”.公式中的x可以表示单项式,也可以表示多项式,当常数项为正数时,把它分解为两个同号因数的积,因式的符号与一次项系数的符号相同;当常数项为负数时,把它分解为两个异号因数的积,其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同.2(2)对于二次项系数不是1的二次三项式axbxc(a,b,c都是整数且a≠0)来说,如果存在四个整数a,a,c,c,使aaa,ccc,且acacb,12

4、121212122122那么axbxcaax(acac)xcc(axc)(axc)它的特征121221121122是“拆两头,凑中间”,这里要确定四个常数,分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂,因此,一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定.学习时要注意符号的规律.为了减少尝试次数,使符号问题简单化,当二次项系数为负数时,先提出负号,使二次项系数为正数,然后再看常数项;常数项为正数时,应分解为两同号因数,它们的符号与一次项系数的符号相同;常数项为负数时,应将它分解为两异号因数,使

5、十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同.用十字相乘法分解因式,还要注意避免以下两种错误出现:一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系22数;二是由十字相乘写出的因式漏写字母.如:5x6xy8y(x2)(5x4)3.因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤:先考虑能否提公因式,再考虑能否运用公式或十字相乘法,最后考虑分组分解法.对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行.以上步骤可用口诀概括如下:“首先提取公因式,然后考虑用公式、十字相乘

6、试一试,分组分解要合适,四种方法反复试,结果应是乘积式”.【典型热点考题】例1把下列各式分解因式:222(1)x2x15;(2)x5xy6y.点悟:(1)常数项-15可分为3×(-5),且3+(-5)=-2恰为一次项系数;2(2)将y看作常数,转化为关于x的二次三项式,常数项6y可分为(-2y)(-3y),而(-2y)+(-3y)=(-5y)恰为一次项系数.2解:(1)x2x15(x3)(x5);22(2)x5xy6y(x2y)(x3y).例2把下列各式分解因式:22(

7、1)2x5x3;(2)3x8x3.2点悟:我们要把多项式axbxc分解成形如(axc)(axc)的形式,这里1122aaa,ccc而acacb.121212212解:(1)2x5x3(2x1)(x3);2(2)3x8x3(3x1)(x3).点拨:二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时,二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大,往往要试验多次,这是用十字相乘法分解的难点,要适当增加练习,积累经验,才能提高速度和准确性.例3把下列各式分解因式:4

8、2(1)x10x9;32(2)7(xy)5(xy)2(xy);222(3)(a8a)22(a8a)120.22点悟:(1)把x看作一整体,从而转化为关于x的二次三项式;(2)提取公因式(x+y)后,原式可转化为关于(x+y)的二次三项式;22(3)以(a8a)为整体,转化为关于(a8a)的二次三项式.4222解:(1)x10x9(x1)(x9)=(x+1)(x-1)(x+3)(x-3).32(2)7(xy)5(xy)2(xy)2(x

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