上海交通大学复变函数试卷(2007_11_A).doc

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1、上海交通大学试卷（A卷）（2007至2008学年第一学期）班级号_______________________学号______________姓名课程名称复变函数和积分变换成绩一、单项选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。1下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）(A)(B)(C)(D)2设z＝0为函数的m阶极点，那么m＝（）（A）5(B)4(C)3(D)23在下列函数中Res=0的是（）.（A）（B）(C)(D)4下列积分中，积分值不为零的是（　　）（A）（B）（C）（D）.5

2、函数在复平面上的所有有限奇点处留数的和是（）（A）1（B）-1（C）2（D）-26设函数的泰勒展开式为，那么幂级数的收敛半径R＝（）（A）（B）1（C）（D）题号一二三四五六七得分批阅人(流水阅卷教师签名处)我承诺，我将严格遵守考试纪律。承诺人：B,C,C,D,A,C二、填空题（本大题共9空，每空3分，共27分）(不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。)1设c为正向圆周，则＝_______________________2设在内解析，在闭圆上连续，且，则积分3设的共轭调和函数为，是常数，那么的共轭调和函数为____________________________

3、_.4设函数在内解析，是内包含的一条正向简单闭曲线，是的阶零点，即，在内无其他零.则。14讨论函数的有限奇点性态：为一阶极点；为二阶极点；为本性奇点。_______________________________________________________________,（说出类型，如果是极点，则要说明阶数）.5的主值为____67函数在__当和时可导。8函数的拉氏逆变换_____________________9积分方程的解_____________________三、(本题7分)设求的值使为调和函数，并求出解析函数(2分)要使为调和函数，则有(1分)，(2分)所以即故四、级数展

4、开（本大题共2小题，每小题6分，共12分）1.已知函数，试在圆环域内展开成罗朗级数。2.试求函数f(z)=在点z=0处的泰勒级数，并指出其收敛区域。五、积分计算（本大题共2小题，每小题7分，共14分）1.利用留数计算积分的值，由三角函数公式（1分）（2分）令，则，于是（2分）被积函数在内只有一阶极点，由公式故由留数定理2.利用留数求积分的值。,记在上半平面内有两个一阶极点和(2分)(2分)(2分)从而六、用Laplace变换解下列各题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）1．求积分的值。2．解微分方程的初值问题：，，七、证明题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）1.设为单连通区域，,

5、在内除外均解析，且在的邻域内有界。证明：其中：为内任一包含的闭曲线。在D内作以为心,任意小的为半径的圆,则(2分)在上及其包围的区域内,有界,即存在M>0,使得从而由的任意性得,(2分)2．叙述并证明柯西不等式。柯西不等式:设函数在圆所围区域内解析,且在C上连续,则其中:M是在C上的最大值.(1分)证明:由条件及高阶导数公式,有(1分)