大学线性代数必过复习资料.doc.doc

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1、大学线性代数必过复习资料复习重点：第一部分行列式1．排列的逆序数（P.5例4；P.26第2、4题）2．行列式按行（列）展开法则（P.21例13；P.28第9题）3．行列式的性质及行列式的计算（P.27第8题）第二部分矩阵1．矩阵的运算性质2．矩阵求逆及矩阵方程的求解（P.56第17、18题；P.78第5题）3．伴随阵的性质（P.41例9；P.56第23、24题；P.109第25题）、正交阵的性质（P.116）4．矩阵的秩的性质（P.69至71；P.100例13、14、15）第三部分线性方程组1．线性方程组的解的判定（P.71定理3；P.7

2、7定理4、5、6、7），带参数的方程组的解的判定（P.75例13；P.80第16、17、18题）2．齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系）3．非齐次线性方程组的解的结构（通解）第四部分向量组（矩阵、方程组、向量组三者之间可以相互转换）1．向量组的线性表示2．向量组的线性相关性3．向量组的秩第五部分方阵的特征值及特征向量1．施密特正交化过程2．特征值、特征向量的性质及计算（P.120例8、9、10；P.135第7至13题）3．矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化（P.135第15、16、19、23题）要注意的知识点：线性代数

3、1、行列式1.2.n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式；代数余子式的性质：①、Aij和aij的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A；3.4.代数余子式和余子式的关系：Mij?(?1)i?jAij行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；Aij?(?1)i?jMij②、副对角行列式：副对角元素的乘积??(?1)n(n?1)2；③、上、下三角行列式（?◥???◣?）：主对角元素的乘积；④、?◤?和?◢?：副对角元素的乘积??

4、(?1)⑤、拉普拉斯展开式：n(n?1)2；AOACCAOA??AB、??(?1)m?nABCBOBBOBC⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；⑦、特征值5.证明A?0的方法：①、A??A；②、反证法；③、构造齐次方程组Ax?0，证明其有非零解；④、利用秩，证明r(A)?n；⑤、证明0是其特征值；2、矩阵1.A是n阶可逆矩阵：?A?0（是非奇异矩阵）；?r(A)?n（是满秩矩阵）?A的行（列）向量组线性无关；?齐次方程组Ax?0有非零解；??b?Rn，Ax?b总有唯一解；?A与E等价；?A可表示成若干个初等矩阵的乘积；?A的特征值全

5、不为0；?ATA是正定矩阵；?A的行（列）向量组是Rn的一组基；?A是Rn中某两组基的过渡矩阵；2.3.对于n阶矩阵A：AA*?A*A?AE无条件恒成立；(A?1)*?(A*)?1(AB)T?BTAT(A?1)T?(AT)?1(AB)*?B*A*(A*)T?(AT)*(AB)?1?B?1A?14.5.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：?A1?若A?????A2???，则：???As?Ⅰ、A?A1A2?As；?A1?1?Ⅱ、A?1???????1A?12???；????1

6、?As?O??B?1?B?1??O??A?1CB?1??B?1?O??B?1?②、?③、??A?1?AO?????OB??O?O?OA?????1BO???A?1?1?A?1?AC?④、?????OB??O?1⑤、??A?1?AO????1?1??CB???BCA3、矩阵的初等变换与线性方程组1.一个m?n矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：?EF??r?OO??；O?m?n等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A、B，若r(A)?r(B)?????A?B；

7、2.行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3.初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①若(A?,?E)???(E?,?X)，则A可逆，且X?A?1；、②、对矩阵(A,B)做初等行变化，A变为E时，B就变成A?1B，(A,B)???(E,A?1B)；当即：③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax?b，如果(A,b)?(E,x)，则A可逆，且x?A?1b；4.初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为

8、初等行矩阵、右乘为初等??1?②、?????????，左乘矩阵A，?乘A的各行元素；右乘，?乘A的各列元ii????n?rrc列矩阵；?2素；?1??1??????1③、对调两行或两列，符号E