三角形单元讲义.doc

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1、§2.9平面问题单元划分有限元法在平面问题进行分析时，才采用三角形单元和四边形单元、或者矩形单元，三角形单元的优点是简单且对结构的不规则边界逼近好，而矩形单元却更能反映实际弹性体内部的应力应变变化。这两点我们会逐渐向大家说明。所以一般说来，有限元分析，单元划分的密度和单元种类选取，对计算结果起重要作用。一般单元划分越密集，结果越精确。单元多也导致求解的线性方程组阶数增高，要求计算机的内存也更大，计算的时间也越长，分析的效率就越低。解决这一矛盾的方法就是在应力集中区域单元划分密集一些，应力变化梯度小的位置，划稀疏些，这样就能兼顾精度与效率的关系。一般

2、的原则是：1）根据结构的受力和支承特点，按对称和反对称的性质，简化分析模型，以减少计算分析的规模。2）合理布局单元的密集程度，以使计算结果精度高而计算量小。3）在同一单元内，单元的特性数据和材质数据应保持一致。4）集中载荷的作用点和载荷密度突变处应有节点。5）在欲知道应力状态、内力情况和位移值的位置应有节点。6）单元的选取欲分析的目标密切相关。模型的单元划分好后，把所有的单元和节点按一定的规律和顺序进行编号，选择适当的坐标系（直角、柱面和球面），以方便确定各节点的坐标值。§2.10节点位移、节点力和节点载荷弹性体在承受外力作用后，其内力的传递实际是

3、通过单元之间的边界来实现的。但我们把结构离散化后，如果单元划分得足够小时，可以看成为其内力的传递通过单元与单元之间的节点进行传递。对于平面问题而言，每个节点都有位移和力两个未知量，这两个量又都是x、y的函数，注意平面问题的节点是不能传递力矩的，为什么？一，节点位移对三节点三角形单元而言，因有三个节点，每个节点的位移都有x，y两个分量，所以一共有6个自由度。单元节点位移向量可表示为：一，节点力所谓节点力，就是单元对节点或节点对单元作用的力，它是弹性体内部的作用力，也就是我们常说的内力。和上面相同的道理，节点力向量为：二，节点载荷节点载荷是指作用在节点

4、上的外力，包括：直接作用在节点上的外力经等效处理后，移植到节点上的等效力。可用Xi、Yi.表示。由力平衡条件知，节点要保持平衡，那么作用在节点上的载荷应等于节点内力的合力。即：，，所有的节点载荷向量表示为§2.11三节点三角形单元的位移模式和形函数弹性结构受外载荷后，内部各点的位移变化规律，一般都是很复杂的。很难找到一个函数来描述整个结构内部各点的位移变化规律。但当把整个结构离散以后，在一个相当小的单元内部，却可以用简单的函数来近似描述单元内部位移的这种变化规律。而不致造成很大的误差。这就好比一条复杂的曲线，用一个函数很难描述，但在把这条曲线分段以

5、后，对于每一条分段曲线，却可以用直线或抛物线来描述。一，三角形单元的位移模式设单元内任意一点的位移分量u、v是其位置坐标x、y的线性函数，则：a1…a6是待定系数。改写方程组成为矩阵的形式：单元的三个顶点i、j、m的坐标已知，分别为、和，因为它们也是单元上的点，所以应该满足以上假定的位移变化规律。代入上式：解以上6个方程，求得6个待定系数。同理得顺序轮换，A是三角形的面积在单元节点的顺序号i,j,m必须是按逆时针排列，否则系数行列式是负值，而三角形的面积为负值，是不合理的。求得的6个系数可以用以下矩阵表示：一，形函数将所求得的6个待定系数代入位移模

6、式表达式中：令顺序轮换就有上式就是假定位移模式下导出的单元内任一点位移表达式。该式的数学意义就是单元内任一点的位移可以由单元节点的某种形式插值得到，其中的插值基函数就是Ni、Nj、Nm。对于我们目前假定的位移模式是线性函数，所以得出的插值基函数也是类似的线性函数。由此可以看出，插值基函数具有反映单元位移变化形态的特征，所以也称之为位移形态函数，简称形函数。[N]就是形函数矩阵。二，形函数的性质单元内任一点的三个形函数之和恒等于1。在单元的三个顶点处，有i节点处j节点处m节点处以上这些，可以通过简单的数学运算进行证明。一，位移模式收敛性的分析由于位移

7、模式的选取是人为假定的，这种假定只能近似模拟单元内位移的变化规律，由于单元刚度矩阵的推导是以假定的位移模式展开的，那么这种假定的位移模式能否使有限元数值解收敛与精确解，在很大程度上就取决于所选的位移模式，通过数学证明，可以找出位移模式满足收敛性的几个条件：A）完备性1）位移模式必须包含单元的常应变状态。将u、v的表达式代入几何方程，得：因为系数a2…a6都是常数，所以上面的应变分量也是常量。这也表明所选的位移模式中包含有弹性体的常应变状态。在上面的表达式中不含x、y的变量，说明单元的应变是常量，这也表明这种单元是一种常应力单元。2）位移模式必须包含

8、单元的刚体位移。弹性体位移一般包含两个部分，即变形位移和没有弹性变形的刚体位移。那么作为模拟单元位移状态的位移模式，也就应