量子力学导论Chap5-3.ppt

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1、§5.5全同粒子系与波函数的交换对称性1、全同粒子系的交换对称性（1）全同粒子系自然界中具有多种微观粒子，如电子、质子、中子、光子以及各类介子等同一类粒子具有完全相同的内禀(Intrinsic)属性，如静止质量、电荷、自旋、磁矩等等与生俱来的本质属性将属于同一类的粒子称为全同粒子(Identicalparticles)。它与粒子态的量子化有本质上的联系，如果没有态的量子化，就谈不上全同性。说明：经典物理中，由于粒子性质和状态可以连续变化，谈不上两个粒子真正的全同。但按照量子力学的观点，由于态的量子化，两个量子态要么完全相同，要么根本不同，

2、中间无过渡。例如，两个金原子，不管经过什么工艺制备而来，如果二者都处于基态，都用相同的量子态来描述，就说它们全同。（2）交换对称性同类粒子组成多粒子系，例如原子和分子中的电子系，原子核中的质子系和中子系，金属中的电子气等。全同多粒子系的基本特征是：任何可观测量，特别是哈密顿量，对于任何两个粒子交换是不变的，即交换对称性。最简单的例子，氦原子中的两电子系的哈密顿量r1r2r1212两个电子交换位置，H显然应保持不变即P12是两个粒子交换的算符，也就是全同粒子系的交换对称性反映到量子态的波函数上，就有了深刻内容：例如对于氦原子，在某处测得一个

3、电子时，不能（其实也没有必要）认定究竟是哪个电子。对于全同粒子系，任何两个粒子交换一下，粒子系的量子态仍保持不变，因此一切测量结果也不变。这对波函数提出了强的限制，即全同粒子系波函数必须满足交换对称性。（3）全同性可观测全同性不是一个抽象的东西，实实在在可以被观测到，如双原子分子的转动光谱的强弱交替现象，全同电子系的交换关联引起的磁性等等。（4）数学描述N个全同粒子多体(many-body)系波函数由于全同性，Pij和所描述的量子态仍然相同，所以，二者最多相差一个常数因子C。可见，Pij的本征值只有两个（+1和-1），也就是取+1时的

4、称为对称波函数，取-1时称为反对称波函数。（4）交换算符Pij是个守恒量由于交换算符有很多，它们都与H对易，都是守恒量。但守恒量不一定都具有共同本征态.不过，从Pij算符自身可以看出，不应有那个算符地位特殊（即不会出现一个态是P12的本征态而不是P23的本征态）。因此，所有的交换对称算符有共同本征态，即完全的对称波函数或完全的反对称波函数。此外，Pij是个守恒量，即全同粒子系的波函数的交换对称性不随时间变化，它们的统计性质（Bose统计或Fermi统计）是不变的。（5）玻色子和费米子迄今为止的所有实验证实，全同粒子系波函数的交换对称性与

5、粒子的自旋有确定的关系：凡是自旋为ћ整数倍(s=0,1,2…)的粒子，波函数对于两个粒子交换总是对称的。在统计方法上，遵守玻色-爱因斯坦规律，这样的粒子称为玻色子，如介子(s=0)，光子(s=1)等。凡是自旋为ћ半整数倍(s=1/2,3/2,5/2,…)的粒子，波函数对于两个粒子交换总是反对称的。在统计方法上，遵守费米-狄拉克规律，这样的粒子称为费米子，如电子(s=1/2)、质子和中子等。注意：1）由基本粒子组成的复杂粒子，例如粒子或其他原子核，如在讨论的问题或过程中内部状态保持不变，即内部自由度全部被冻结，则全同性仍然适用，由多个

6、粒子组成的体系也可当作全同粒子系来处理。2）如果这种复杂粒子由玻色子构成，则仍为玻色子；如果由奇数个费米子构成，则仍为费米子，如果由偶数个费米子构成，则成为玻色子。例如：2、两个全同粒子组成的粒子系前提条件：忽略全同粒子间的相互作用体系哈密顿量：其中，h(q)表示单粒子的哈密顿量。由于是全同粒子，h(q1)和h(q2)形式上完全一样。很明显单粒子本征方程：k：单粒子能量k：对应k的单粒子归一化波函数k：对应本征方程的一组完备的量子数设两个粒子中一个处于态,另一个处于态.则，对应的能量都是。这是一种简并状态，称为交换简并，但这两个波函

7、数还不一定具有交换对称性。要是它们具有交换对称性，还必须依据这两个粒子是玻色子还是费米子来进行适当组合。（1）玻色子要求二粒子系的波函数对于交换是完全对称的。分两种情况讨论：量子数k1k2,归一化波函数b.量子数k1=k2=k,归一化波函数（2）费米子二粒子系的波函数对于交换是完全反对称的。分两种情况讨论：量子数k1k2,归一化波函数b.量子数k1=k2=k,归一化波函数这就是费米子体系的著名的泡利不相容原理，即不允许两个费米子处于同一个单粒子态。3、N个全同粒子组成的粒子系（1）费米子三个全同费米子多体系归一化完全反对称波函数反对称

8、化算符注：反对称化算符的解释推广到N个全同费米子体系，粒子间无相互作用全同费米子多体系归一化完全反对称波函数（表示成Slater（斯莱特）行列式的形式）其中已设N个全同费米子分别处于k1