[理学]量子力学导论

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1、量子力学导论主要内容经典物理的困难氢原子的波尔理论量子力学的建立薛定谔方程力学量与算符电子自旋多电子原子及分子光谱性√√√波函数与薛定谔方程问题:(1)如何描述微观粒子的状态？(2)微观粒子的状态变化时应遵循什么样的运动规律？量子力学与经典力学2薛定谔方程经典力学中，体系运动状态随时间的变化遵循牛顿力学。和经典力学类似，我们也应建立一个决定随变化规律的方程式。从物理上，这个方程式必须满足下述条件：由于波函数满足态叠加原理，而态叠加原理对任何时间都成立，因此描述波函数随时间变化的方程应该是线性方程。方程的系数仅含有质量、电荷等内禀量，不应含有和个别粒子运动状态特定性质有

2、关的量，如动量。2薛定谔方程Ⅲ、因为波函数的自变量是，因此它必然是关于和的偏微分方程。Ⅳ、由于经典力学是量子力学的极限情况，因此这个方程必须满足对应原理，当时，它能过渡到牛顿方程。Ⅴ、对于自由粒子，这个方程的解应该是平面波。2.薛定谔方程方程的寻找对平面波式分别对和求微商后得：由上两式可以看出能量与动量作用在波函数上的结果与算符及作用在波函数上的结果相同，即存在对应关系：物理启发2.3薛定谔方程1926年，薛定谔推广上述规则到一般情况，找到了描述波函数演化规律的薛定谔方程，设单个粒子体系的哈密顿量为：得到薛定谔方程：2.3薛定谔方程薛定谔方程式量子力学的基本假设之一，但必须指出，我

3、们并未建立薛定谔方程，因为只知道微分方程的解是不足以建立微分方程的。以上对应关系式（2.3）式，只是在直角坐标系中的对应关系，在其他坐标系中不一定成立。2.3薛定谔方程下面我们讨论一下定态情况：若不显含时间，则薛定谔方程可用分离变量法求解，此时可令：将上式代入薛定谔方程并用遍除等式两边，可得：2.3薛定谔方程显然上式左边只和有关，右边只和有关，故两边都只能等于一个常数，用表示这个常数，有和上式可改写为：此即定态薛定谔方程。2.3薛定谔方程方程（2.5）的解可直接给出为代入（2.4）并将吸收入中去，并有归一化条件来确定，有又具有这种形式的波函数描述的状态称为。定态而满足(2.8)式的

4、波函数和，称为定态波函数。2.薛定谔方程以表示体系的能量算符的第个本征值，是与相应的波函数，则体系的第个定态波函数是含时的薛定谔方程的一般解，可以写成这些定态波函数的线性叠加：§3.1一维势阱问题粒子势能满足边界条件(1)是固体物理金属中自由电子的简化模型；(2)数学运算简单，量子力学的基本概念、原理在其中以简洁的形式表示出来.3.一维定态问题讨论波函数的标准条件：单值、有限和连续.量子数归一化条件得波动方程概率密度能量波函数a粒子能量量子化讨论1：基态能量能量激发态能量一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的.b粒子在势阱中各处出现的概率密度不同概率密度波函数例如，当n=1时，粒子

5、在x=a/2处出现的几率最大c波函数为驻波形式，阱壁处为波节，波腹的个数与量子数n相等16E19E14E1E1htEinnnextx-=Y)(),(tinexanapnp2)sin(2-=驻波？A)考虑时间因子是沿x轴正向、负向传播的波，形成驻波。两端为波节。只有某些波长的波才能形成驻波。n的取值不同,能量不同，腹的数目不同。波腹的数目等于n的数目。a为半波长的整数倍.ieeii2sinqqq--=讨论2：B)束缚态与扩展态:束缚态:在r～∞波函数为零的状态称为束缚态.n(x)=0（x£0x³a)xanAxnpsin)(=束缚态扩展态:如对自由粒子的波函数有:因此一般有:所以

6、自由粒子的状态为扩展态.可以证明对势阱的势能函数为:axxU<<=-a0)(axxxU><¥=或-a)(势阱宽度2a=的一维无限深势阱中粒子其定态波函数为:D)宇称:C)基态能量与测不准关系:该波函数具有下列性质:当n为偶数时:当n为奇数时:这来源于势函数U(x)对x=0处的对称性U(x)=U(-x)①宇称算符:P称为宇称算符.以P表示把X变为负X的运算,则有:②P的本征值:由知P2的本征值为1,因此P的本征值为+1或-1,即有:偶宇称奇宇称量子力学处理问题的基本步骤：1)写出哈密顿量及哈密顿算符.4)由初始条件和边界条件,并依据波函数的标准化条件的要求,求出能量本征值.3)解出通

7、解,其中包含待定常数:能量本征值及一些待定常数.5)求出与本征值相应的本征波函数.6)进行必要的讨论.2)建立薛定格方程.本节我们将进一步讨论粒子在一定区域内出现的几率将怎样随时间变化。设描述粒子状态的波函数是，在时刻在点周围单位体积内粒子出现的几率是：几率密度随时间的变化率为：4.概率流密度与概率流守恒定律由薛定谔方程及其共轭：可得：4。概率流密度与概率流守恒定律4.概率流密度与概率流守恒定律令：称为概率流密度，由（2.4.1）式得：（2.4.2）式就是概率流守恒定