概率论魏宗舒-第三章的答案.doc

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1、3.2随机变数的分布函数为，求常数与及相应的密度函数。解：因为所以因而。3.3已知随机变数的密度函数为（1）求相应的分布函数；（2）求。解：3.4设随机变数具有对称的分布密度函数，即证明：对任意的有（1）；（2）P（；（3）。证：（1）==；（2），由（1）知1-故上式右端=2；（3）。3.5设与都是分布函数，又是两个常数，且。证明也是一个分布函数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型？证：因为与都是分布函数，当时，，，于是又所以，也是分布函数。取，又令这时显然，与对应的随机变量不是取有限个或可列个值，故不是离散型的，而不是连续函数

2、，所以它也不是连续型的。3.8某城市每天用电量不超过一百万度，以表示每天的耗电率（即用电量除以一万度），它具有分布密度为若该城市每天的供电量仅有80万度，求供电量不够需要的概率是多少？如每天供电量90万度又是怎样呢？解：因此，若该城市每天的供电量为80万度，供电量不够需要的概率为0.0272,若每天的供电量为90万度，则供电量不够需要的概率为0.0037。3.9设随机变数服从（0，5）上的均匀分布，求方程有实根的概率。解：当且仅当（1）成立时，方程有实根。不等式（1）的解为：或。因此，该方程有实根的概率。3.14证明：二元函数对每个变元单调非降，左

3、连续，且，，但是并不是一个分布函数。证：（1）设，若，由于，所以，若，则。当时，；当时，。所以。可见，对非降。同理，对非降。（2）时=，时，=，所以对、左连续。（3），。（4），所以不是一个分布函数。3.15设二维随机变数的密度求的分布函数。解：当，时，===所以3.16设二维随机变数的联合密度为（1）求常数；（2）求相应的分布函数；（3）求。解：（1），所以；（2）时，=，所以（3）==。3．17设二维随机变数有密度函数求常数及的密度函数。解：所以，；3.18设二维随机变数的密度函数为求（1）。解：3.19设都是一维分布的密度函数，为使成为一个二

4、维分布的密度函数，问其中的必需且只需满足什么条件？解：若为二维分布的密度函数，则所以条件得到满足。反之，若条件（1），（2）满足，则为二维分布的密度函数。3.21证明：若随机变数只取一个值，则与任意的随机变数独立。证：的分布函数为设的分布函数、的联合分布函数分别为。当时，。当时，。所以，对任意实数，都有，故与相互独立。3.22证明：若随机变数与自己独立，则必有常数，使。证：由于，所以，。由于，非降、左连续，所以必有常数，使得故。3.23设二维随机变量的密度函数为问与是否独立？是否不相关？解：。同理，。由于，所以与不相互独立。又因关于或关于都是偶函数

5、，因而，故，与不相关。3.26随机变数在任一有限区间上的概率均大于（例如正态分布等），其分布函数为，又服从上的均匀分布。证明的分布函数与的分布函数相同。解：因为在任一有限区间上的概率均大于，所以是严格上升函数。由于上的均匀分布，所以的分布函数，对任意的都成立。所以与的分布函数相同。3.30设随机变数服从分布，求的分布密度。解：在时，。所以的分布密度。3.31设随机变数服从分布，求的分布密度。解：的反函数。由服从分布，推得的分布密度为3.32设随机变量与独立，求的分布密度。若（1）与分布服从及上的均匀分布，且；（2）与分别服从及上的均匀分布，。解（1

6、）其它。，其它。==，其它。（2），其它，，其它。==，其它3.33设随机变量与独立，服从相同的拉普拉斯分布，其密度函数为求+的密度函数。解：，，当时，当时，所以3.34设随机变量与独立，服从相同的柯西分布，其密度函数为证明：也服从同一分布。证：所以即也服从相同的柯西分布。3.35设随机变量与独立，分别具有密度函数（其中），求+的分布密度。解：时，时，3.37设随机变量与独立，都服从上的均匀分布，求的分布。解：服从上的均匀分布，据3.48(2)知，在时，的分布函数所以的分布密度为3.40设随机变量与独立，且分别具有密度函数为证明服从分布。证：由得。

7、故令，则所以服从分布。3.41设随机变量与独立，都服从参数为的指数分布，求的密度函数。解：在时，在时，。3.42设随机变量与独立，都服从上的均匀分布，求的密度函数。解：当时，当时所以的密度函数为3.45设二维随机变量的联合分布密度为证明：与不独立，但与独立。证：由于，所以与不独立。由于所以对一切的，都有，故与相互独立。3.46设随机变量具有密度函数求。解：3.46设随机变量具有密度函数求及。解，，。3.48设随机变量服从上的均匀分布，求的数学期望与方差。解：3.50设为正的且独立同分布的随机变量（分布为连续型或离散型），证明：对任意的，有。证：同分

8、布，又，所以都存在且相等。由于，所以。3.51（1）设是非负连续型随机变量，证明：对，有。证：。3.51（2）若对连续型随