作业一传热与流体流动的数值方法.doc

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1、流动与传热的数值方法作业（一）姓名：徐世杰学号：120351题目1：用Galerkin方法求以下方程在内部节点的离散化方程。取线性插值函数，，其中节点间距是均匀的。题目2：考虑①用控制容积有限差分方法做出内部节点和边界节点的离散化方程；②写出代数方程组的迭代求解程序；③研究空间步长对数值精度和收敛性的影响。题目一解：Galerkin方法就是将对应某个点上的插值函数作为权函数。Galerkin方法是有限元方法。可知有：，i=2，….,n-1按照习惯，上述积分写成：可以推得：由弱解变换可以得可以得，i=2，…,

2、n-1上式继续推导有：其中，化简可以得：i=2，….,n-1题目二①用控制容积有限差分方法做出内部节点和边界节点的离散化方程：首先进行离散化，先确定节点，再确定控制容积。将0-1划分为N段，共N+1个节点，N个控制容积，其中。对原方程建立差分方程，内部节点：边界节点边界节点组成代数方程组：写成矩阵方程组：②写出代数方程组的迭代求解程序:用Matlab编写如下求解程序；function[x,n]=gauseidel(A,b,x0,eps,M)%高斯迭代格式%线性方程组的系数：A%线性方程组中常数向量：b%迭代

3、初始向量：x0%解的精度控制：eps%迭代步数控制：M%线性方程组的解：x%求出所需精度的解实际迭代步数：nifnargin==3eps=0.000001;M=10000;elseifnargin==4M=10000;endD=diag(diag(A));L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);G=(D-L)U;f=(D-L)b;x=x0;n=0;tol=1;whiletol>=epsx=G*x0+f;n=n+1;tol=norm(x-x0);x0=x;if(n>=M)disp('Warn

4、ing：’迭代次数过多，可能不收敛.')return;endendN=input('请输入N值''')Tp=input('请输入Tp值''')x1=zeros(N,1)A0=zeros(N);A0(1,1)=N+1/(2*N);A0(1,2)=-N;A0(N,N-1)=-N;A0(N,N)=2*N+1/N;fori=2:N-1A0(i,i-1)=-N;A0(i,i)=2*N+1/N;A0(i,i+1)=-N;endb0=zeros(N,1);b0(1,1)=(1/N)*Tp;b0(N,1)=(2/N

5、)*Tp+N;fori=2:N-1b0(i,1)=(2/N)*Tp;endA=A0;b=b0;x0=x1;[x,n]=gauseidel(A,b,x0)x=[x;1]t=(0:1/N:1)title('一维稳态导热问题空间温度分布图')xlabel('空间分布X')ylabel('温度分布T')holdonplot(t,x)①研究空间步长对数值精度和收敛性的影响。由以上程序计算当取=1。当N=4时;迭代次数n=62；N=6;迭代次数n=132；N=9;迭代次数n=282由上图可见随着步长的缩短，计算结果更加

6、精确，数值精度越高，收敛速度越慢。